Un gran número de fenómenos físicos se modelizan mediante funciones vectoriales. Por ejemplo son vectoriales las magnitudes fuerza en un campo gravitatorio y velocidad en el movimiento de un fluido o un sólido.

Comenzamos el tema definiendo nociones fundamentales como divergencia y rotacional y obteniendo sus propiedades más básicas. Posteriormente abordaremos la integración sobre curvas de campos escalares y de campos vectoriales, cuyas definiciones se justificaran haciendo uso de su interpretación física o geométrica. Trataremos finalmente un resultado trascendental en esta teoría y en sus aplicaciones: el teorema de Green.

Reseñaremos aquí la figura de George Green (1793-1841): matemático inglés, autodidacta, en 1828 publicó una pequeña tirada de la obra “An Essay on the Theories of Electricity and Magnetism”, publicación que contenía el conocido ahora como teorema de Green, que no llegó a difundirse en esa época. Se inscribió en la Universidad Cambridge a los cuarenta años, pero desafortunadamente murió cuatro años después de graduarse. Green fue la primera persona que trató de formular una teoría matemática de la electricidad y el magnetismo. 
El trabajo de Green fue poco conocido en la comunidad matemática durante su vida. En 1846, su trabajo fue redescubierto por un joven William Thomson, quien lo hizo popular entre los futuros matemáticos de la época. En la actualidad, la Biblioteca George Green de la Universidad de Nottingham alberga gran parte de la colección de ciencias e ingeniería de la universidad. En una visita a Nottingham en 1930, Albert Einstein comentó que Green estuvo 20 años adelantado a su época. El físico teórico Julian Schwinger, quién usó parte de la obra de Green en su trabajo sobre investigación de avanzada, publicó un tributo titulado «The Greening of Quantum Field Theory: George and I«.