Un gran número de fenómenos físicos se modelizan mediante funciones vectoriales. Por ejemplo, son magnitudes vectoriales la fuerza en un campo gravitatorio y la velocidad en el movimiento de un fluido o un sólido. En este tema se tratan las integrales de superficie y se enuncian los resultados del teorema de Stokes (1819-1903) y de Gauss (1777-1855) relativos a flujos de campos vectoriales.  

La relación entre las integrales de superficie y el área es comparable a la relación entre las integrales de línea y la longitud de arco. Mientras que en una integral de línea integramos sobre una curva, en una integral de superficie integraremos sobre el conjunto de puntos que forman una superficie.  

El teorema de Stokes  establece la igualdad entre una integral de línea y una integral de superficie. Generaliza al teorema de Green (1793-1841) considerando la curva en el espacio y la superficie una cuyo borde o frontera sea tal curva.  

El teorema de Green, que relaciona también la integral curvilínea sobre una curva con una integral doble sobre la región limitada por dicha curva, tiene ahora su extensión en el teorema de la divergencia al relaconar el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral triple de su divergencia en el volumen delimitado por dicha superficie.  

El teorema de la divergencia se conoce también con el nombre de teorema de Gauss– Ostrogradski (1801-1862) ya que, aunque fue Gauss quien demostró  el resultado en tres casos particulares, su enunciado más general se debe al matemático ruso Mikhail Ostrogradski quien lo presentó a la Academia de Ciencias en París en 1826.  Este teorema tiene vital importancia en electromagnetismo y en dinámica de fluidos.

Johann Carl Friedrich Gauss, fue un matemático, astrónomo, geodesta y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica, siendo considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la historia.  Su obra Disquisitiones arithmeticae, publicada en 1801, marca los inicios reales de la teoría moderna de los números y además crea en ella el método riguroso moderno para las matemáticas.

F.Simmons incluye en su libro sobre Ecuciones Diferenciales una extensa y muy interesante nota sobre Gauss que comienza así: »Carl Friedrich Gauss, (1777-1855) fue el más grande de los matemáticos y, quizá, el genio mejor dotado de que se tiene memoria. Esta figura gigantesca, que destacaba al principio del siglo XIX, inicia la era moderna de las matemáticas. Su discernimiento visionario, su originalidad, la gama extraordinaria y la profundidad de sus realizaciones, sus constantes demostraciones de un poder y una tenacidad casi sobrehumanas, son características que, al encontrarse en un solo individuo, nos plantean un enigma tan sorprendente como lo fue para sus contemporáneos.»

Gauss fue miembro de varias Academias de Ciencias y recibió numerosas ofertas para dejar la ciudad de Göttinguen, donde había vivido desde 1807, pero como escribe F. Simmons, »…rechazó todos los ofrecimientos y permaneció en esta ciudad hasta el final de su vida, viviendo de manera tranquila y sencilla, viajando muy rara vez y trabajando con una inmensa energía en una gran variedad de problemas matemáticos y sus aplicaciones.»

Mikhail Vasílievich Ostrogradski (1801-1861), fue un físico y matemático ucraniano, conocido especialmente por la fórmula que expresa una integral sobre un volumen como una integral sobre la superficie que la limita. También desarrolló un método para calcular la integral de una función racional cuando el denominador tiene raíces múltiples.

Trabajó en análisis matemático y matemática aplicada, en particular dentro de la física matemática ideó una síntesis grandiosa que abarcaría la hidromecánica, la teoría de la elasticidad, la teoría del calor, y la teoría de la electricidad en el marco de un único método homogéneo. Fue miembro de varias Academias de Ciencias europeas. 

Sir George Gabriel Stokes, primer Baronet, (1819-1903) fue un matemático y físico irlandés que realizó contribuciones importantes a la dinámica de fluidos (como las ecuaciones de Navier-Stokes), la óptica y la física matemática (como el teorema de Stokes). Fue secretario y luego presidente de la Royal Society de Inglaterra.

Su muy abundante (el catálogo de artículos científicos de la Royal Society muestra los títulos de más de cien contribuciones hechas por él hasta 1883) brillante y de enorme calidad trabajo obtuvo en vida gran reconocimiento, tal como muestran sus títulos honoríficos. Además de sus cuantiosos trabajos publicados, Stokes realizó múltiples descubrimientos que jamás llegaron a publicarse, o como mucho fueron comentados brevemente en alguna de sus conferencias orales, como por ejemplo su trabajo sobre la teoría de la espectroscopia. Además de por sus propios trabajos, contribuyó grandemente al progreso de la física matemática ayudando a sus alumnos y colegas en sus investigaciones.