Analiza la integrabilidad de \(f(x)\) en cualquier intervalo de la recta real.
Acota inferior y superiormente la integral
$$I=\int_0^3\sqrt{1+x^2}\, dx$$
utilizando propiedades de la integral definida.
Dados los siguientes números:
$$I_1=\int_{-1}^3 f(x)\, dx\ \ ,\ \ I_2=\int_{-1}^2 f(x)\, dx
\ \ ,\ \ I_3=\int_0^{-1} f(x)\, dx
\ \ ,\ \ I_4=\int_0^{-2} f(x)\, dx$$
¿es posible ordenarlos sin calcularlos?
Resolución apartado 1
Para analizar si una función dada es integrable en un intervalo \([a,b]\) debemos
Acudir a la definición
Utilizar un teorema
¡No!, la definición nos puede servir en algunos casos para ver la 'no integrabilidad', pero no
la integrabilidad, pues no podemos hacer todas las sumas de Riemann y ver que tienden al mismo límite.
En efecto, para esto contamos con el teorema que da las condiciones suficientes de integrabilidad (Ver Teoría). ¿Qué concluyes? (Pulsa en 'Continuar' cuando lo sepas)
Puesto que esta función es continua en todo el eje se puede asegurar que será integrable en cualquier intervalo de la recta real.
Resolución apartado 2
Paso 1
Utilizando la propiedad de monotonía (Ver Teoría), debemos encontrar el mínimo (\(m\)) y el máximo (\(M\)) de la función en el intervalo de integración:
\(m=1 \ \ ,\ \ M=\sqrt{10} \) porque lo veo a ojo
\(m=1 \ \ ,\ \ M=\sqrt{10} \) porque la función es estrictamente creciente
Es cierto que en este caso encontrar el mínimo y el máximo no reviste dificultad, pero es mejor saber
la razón en que se basan nuestras afirmaciones: en este caso esos son el mínimo y el máximo porque la función es
estrictamente creciente en el intervalo de integración.
En efecto, esos son el mínimo y el máximo y lo son por esa razón.
Paso 2
Por tanto, el resultado de la acotación es (hazlo tú y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas):
¿Podemos ordenar los siguientes números?
$$I_1=\int_{-1}^3 f(x)\, dx\ \ ,\ \ I_2=\int_{-1}^2 f(x)\, dx
\ \ ,\ \ I_3=\int_0^{-1} f(x)\, dx
\ \ ,\ \ I_4=\int_0^{-2} f(x)\, dx$$
Puesto que el integrando es el mismo, sólo deberíamos estudiar los intervalos de integración.
Elige la opción correcta:
Es posible comparar \(\hspace{2cm} I_1\ \mbox{con} \ I_2\) porque \(\hspace{2cm} [-1,2]\subset [-1,3]\), pero no
se puede comparar con las otras.
Podemos analizar los signos de estas integrales.
Esta opción no es correcta. Sí pueden compararse.
En efecto, utilizando la propiedad de inversión de los límites de integración (ver Teoría) sabemos que
$$I_3=\int_0^{-1} f(x)\, dx=-\int_{-1}^0 f(x)\, dx$$
y puesto que, debido a la positividad, (ver teoría),
\(\int_{-1}^0 f(x)\, dx\) es un número positivo,
se tiene
$$I_3\leq 0$$
Utiliza ahora la propiedad de aditividad (ver teoría) para comparar \(I_3\) con \(I_4\). (Pulsa en
'Continuar' cuando lo tengas)
Podemos escribir
$$I_4=\int_0^{-2} f(x)\, dx=-\int_{-2}^0 f(x)\, dx=-\left(\int_{-2}^{-1} f(x)\, dx+\int_{-1}^0 f(x)\, dx \right)
=-\int_{-2}^{-1} f(x)\, dx+I_3\ $$ $$\Rightarrow \ \ \ I_4\leq I_3$$
ya que \(\int_{-2}^{-1} f(x)\, dx\) es un número positivo.
Utiliza de nuevo la propiedad de aditividad para comparar \(I_1\) con \(I_2\). (Pulsa en
'Ver' cuando lo tengas)
Elige la opción correcta:
Ver
Escribimos
$$I_1=\int_{-1}^3 f(x)\, dx=\int_{-1}^2 f(x)\, dx +\int_2^3 f(x)\, dx=
I_2 +\int_2^3 f(x)\, dx\ \ \ \Rightarrow \ \ \ I_2\leq I_1$$
ya que \(\int_2^3 f(x)\, dx\) es un número positivo.
$$\mbox{}$$
Concluimos por tanto, que sin calcularlos está garantizado que
$$I_4\leq I_3\leq I_2\leq I_1$$
En efecto, utilizando la propiedad de inversión de los límites de integración (ver 
Escribimos
$$I_1=\int_{-1}^3 f(x)\, dx=\int_{-1}^2 f(x)\, dx +\int_2^3 f(x)\, dx=
I_2 +\int_2^3 f(x)\, dx\ \ \ \Rightarrow \ \ \ I_2\leq I_1$$
ya que \(\int_2^3 f(x)\, dx\) es un número positivo.
$$\mbox{}$$