La curva periódica de la figura se llama cicloide y se genera al hacer girar una circunferencia de radio \(R\) sobre sí misma al tiempo que se la desplaza por el eje OX: un puntero de tinta situado en un punto de esa circunferencia dibujaría la curva cicloide. Esta curva admite las ecuaciones paramétricas siguientes: $$x=R(t-\mbox{sen}\, t) \ \ , \ \ y=R(1- \cos t)\ \ ,\ \ \ t\in{\bf R}$$ Un lazo de cicloide es un arco comprendido entre dos cortes con el eje OX.
Halla el área encerrada entre el eje OX y un lazo de cicloide.
¿Cuál es la ordenada media de un lazo de cicloide con respecto a \(x\)? ¿Está garantizada en este caso la existencia de un valor de \(x\) en el que se alcanza ese valor medio? En caso afirmativo, encuéntralo.
Sin utilizar el primer apartado, calcula el área encerrada entre el eje OY y el arco de cicloide (medio lazo) que va desde el punto \((0,0)\) al punto \((\pi R,2R)\). Puedes comprobar el resultado con lo obtenido en el primer apartado.
Resolución del primer apartado
Paso 1
Puesto que la curva es periódica, todos los lazos encierran el mismo área con el eje. Por comodidad podemos elegir el arco que va desde el punto\((0,0)\) al punto \((2\pi R,0)\). Debemos empezar analizando cuál es el intervalo de variación del parámetro \(t\) para que las coordenadas \(x\) e \(y\) recorran los puntos de ese arco una y sólo una vez. Busca ese intervalo y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
Ver
El intervalo es \([0,2\pi]\):
para \(t=0\), el punto es \((0,0)\)
para \(t\) entre \(0\) y \(\pi\) la \(x\) crece hasta \(\pi R\) yla \(y\) hasta \(2R\)
para \(t=\pi\), el punto es \((\pi R, 2R)\)
para \(t\) entre \(\pi\) y \(2\pi\) la \(x\) crece hasta \(2\pi R\) yla \(y\) decrece hasta \(0\)
para \(t=2\pi\), el punto es \((2\pi R, 0)\)
Paso 2
Por tanto, teniendo en cuenta la Teoría áreas, el área es: (plantea la integral y pulsa en 'Ver' cuando la tengas).
Ver
$$\mbox{área}=\int_0^{2\pi} R^2 (1-\cos t)(1-\cos t)\, dt=R^2\int_0^{2\pi}\left(\frac{3}{2} -2\cos t +\frac{1}{2}\cos 2t\right)\, dt=$$$$=R^2\left[\frac{3}{2}t -2\mbox{sen}\, t +\frac{1}{4}\mbox{sen}\, 2t\right]_0^{2\pi}=3\pi R^2$$
Resolución del segundo apartado
Primera pregunta
Teniendo en cuenta la definición (ver Teoría) de valor medio de una función en un intervalo, el valor medio de la coordenada \(y\) del lazo de cardiode respecto de la \(x\) es:
Así no estarás calculando la media de \(y\)respecto de la \(x\), sino de \(y\)respecto de la \(t\).
¡No!; eso es una mezcla extraña, pues estás integrando utilizando \(dx=x'(t)\,dt\) pero luego divides entre la longitud del intervalo de la variable \(t\).
Eso es. Con ese cociente estamos calculando la media de la \(y\) respecto de la \(x\). En este caso no tenemos que calcular la integral, pues ya está evaluada en el apartado anterior. Tenemos que$$y_m=\frac{3\pi R^2}{2\pi R}=\frac{3}{2}R$$
Segunda pregunta
Para asegurnos de la existencia de un valor de \(x\) en el cual se alcanza el valor medio, hemos de utilizar el teorema del valor medio para integrales (ver Teoría). ¿Qué concluyes? (Pulsa el 'Ver' cuando lo tengas)
Ver
La respuesta es que, por ser \(y\) una función continua, podemos garantizar la existencia de un valor de \(x\) en el que se alcanza el valor medio.
Tercera pregunta
Para hallar ese o esos valores donde se alcanza el valor medio, igualaremos la coordenada \(y\) al valor obtenido para \(y_m\):$$y_m=R(1-\cos t_m)=\frac{3}{2}R$$De aquí obtenemos que \(t_m\) es (elige las que tenga los valores correctos)
¡No!; es cierto que el coseno de esos dos valores vale \(-1/2\), pero el dominio de la variable \(t\) en el que estamos trabajando es \([0,2\pi]\).
Sí hay una correcta.
En efecto, esos son los valores para el parámetro. Los correspondientes valores de la abscisa serán$$x_m=R\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\ \ \ \mbox{y}\ \ \ x_m=R\left(\frac{4\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
Resolución del tercer apartado
Paso 1
Hemos de encontrar el intervalo de variación del parámetro que define el medio lazo que nos ocupa, aunque este trabajo ya lo tenemos realizado en el primer apartado.
$$\mbox{área}=\int_0^{\pi} R^2 (t-\mbox{sen} \, t)\,\mbox{sen}\, t \, dt$$
¡No!, eso sería el área respecto del eje OX.
¡No!, sí que hay una correcta.
En efecto, eso es la integral de \(|x(t)y'(t)|\) entre 0 y \(\pi\).
Paso 3
Sólo queda hallar las integrales$$\int_0^{\pi} t\,\mbox{sen}\, t \, dt\ \ \ \ \mbox{y} \ \ \ \ \int_0^{\pi} \mbox{sen}^2\, t\, dt$$ Hállalas y pulsa en 'Ver' cuando las tengas. Recuerda que la primera se calcula muy fácilmente integrando por partes.
Ver
El área resulta$$\mbox{área}=R^2 \int_0^{\pi} t\,\mbox{sen}\, t \, dt -R^2 \int_0^{\pi} \mbox{sen}^2\, t\, dt= R^2\pi-R^2\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}R^2$$Observamos que este resultado es coherente con el obtenido en el primer apartado, pues de aquel podemos deducir que el área entre medio lazo y el eje OX es \(\frac{3\pi}{2}R^2\), que sumada con el área contra el eje OY obtenida resulta el área de un rectángulo de base \(\pi R\) y altura \(2R\).
Resumen
Cálculo del área contra el eje OX
Buscar el intervalo de variación del parámetro.
Plantear y resolver la integral que conduce al área.
Valor medio
Cálculo del valor medio.
Uso del teorema para garantizar existencia de punto donde se alcanza el valor medio.
Búsqueda de los puntos donde se alcanza el valor medio.
