Teoría de área encerrada por una curva en paramétricas
Consideramos la curva \(C\) que viene dada por las ecuaciones paramétricas
$$x=x(t)\ \ \ ,\ \ \ y=y(t)\ \ \ ,\ \ \ t\in [t_1,t_2]$$
- Si estas ecuaciones definen entre los puntos de abscisas \(a=x(t_1)\) y \(b=x(t_2)\)
una función \(y=f(x)\) integrable, entonces el área encerrada entre la curva \(C\) y el eje 0X es
$$\text{área}=\int_a^b |f(x)|\, dx=\int_{t_1}^{t_2} |y(t)x'(t)|\, dt$$
Para garantizar la integrabilidad se suele pedir a \(y(t)\) que sea continua y a \(x(t)\) que sea de clase \(C^1\).
- Si estas ecuaciones definen entre los puntos de abscisas \(c=y(t_1)\) y \(d=y(t_2)\)
una función \(x=g(y)\) integrable, entonces el área encerrada entre la curva \(C\) y el eje 0Y es
$$\text{área}=\int_c^d |g(y)|\, dy=\int_{t_1}^{t_2} |x(t)y'(t)|\, dt$$
Para garantizar la integrabilidad se suele pedir a \(x(t)\) que sea continua y a \(y(t)\) que sea de clase \(C^1\).