Integrales impropias de primera especie

Si una función \(f\) es integrable en cada intervalo de la forma \( [a, R]\) para cualquier \(R \geq a\) se define $$\int_a^\infty f(x)\, dx = \lim_{R\rightarrow \infty} \int_a^R f(x)\, dx$$
Se dice que la integral impropia es

• convergente si el límite es finito
• divergente si el límite es infinito
• oscilante si el límite no existe

De manera análoga se puede definir la integral impropia cuando el intervalo de integración es \([-\infty, b] \) o \([-\infty, \infty] \): $$\int_{-\infty}^b f(x)\, dx= \lim_{R\rightarrow \infty} \int_{-R}^b f(x)\, dx$$ $$\int_{-\infty}^\infty f(x)\, dx= \lim_{R_1\rightarrow \infty} \int_{-R_1}^c f(x)\, dx+ \lim_{R_2\rightarrow \infty} \int_c^{R_2} f(x)\, dx$$

 

Integrales impropias de segunda especie

Si una función \(f\) es integrable en cada intervalo de la forma \( [a+\epsilon, b]\) para \( 0 < \epsilon < b-a \) pero no acotada en \([a, b]\). Entonces se define $$\int_a^b f(x)\, dx= \lim_{\epsilon\rightarrow 0^+} \int_{a+\epsilon}^b f(x)\, dx$$
Se dice que la integral impropia es

• convergente si el límite es finito
• divergente si el límite es infinito
• oscilante si el límite no existe

De manera análoga se puede definir la integral impropia cuando no hay acotación en el extremo superior o en ambos extremos del intervalo:

• Si \(f\) es integrable en \([a, b-\epsilon]\), $$\int_a^b f(x)\, dx= \lim_{\epsilon\rightarrow 0^+} \int_a^{b-\epsilon} f(x)\, dx$$
• Si \(f\) es integrable en \([a+\epsilon_1, b-\epsilon_2]\), $$\int_a^b f(x)\, dx= \lim_{\epsilon_1\rightarrow 0^+} \int_{a+\epsilon_1}^c f(x)\, dx+ \lim_{\epsilon_2\rightarrow 0^+} \int_c^{b-\epsilon_2} f(x)\, dx$$

Ejercicios interactivos:

• Área de una región infinita. Ejemplo 1
• Área de una región infinita. Ejemplo 2