¡No!, por la simetría impar de la función, esa integral que has elegido da cero.No es el área de la región.
¡No!, la integral que has elegido es negativa, pues entre 0 y 1 la función es negativa.
¡Sí! esto es lo correcto. Debemos poner un signo menos, pues entre 0 y 1 la función es negativa.
Paso 3
La integral que da este área se llama impropia porque la función no está acotada en alguno de los puntos del intervalo de integración, en particular en el extremo \(x=1\), por lo cual(Ver Teoría impropias)$$\int_0^1 f(x)\, dx=\lim_{A\rightarrow 1^{-}} \int_0^A f(x)\, dx$$Debemos calcular la integral \(I_A=\int_0^A f(x)\, dx\). Se hará integrando por partes, tomandocomo \(dv=x\, dx\);luego nos quedará una racional. (Halla \(I_A\) y pulsa en 'Ver')
Ver
En efecto, si comenzamos integrando por partes$$I_A=\int_0^A x\, \log(1-x^2)\, dx=\left.\frac{x^2}{2}\log(1-x^2)\right]_0^A+\int_0^A\frac{x^3}{1-x^2}\, dx=\frac{A^2}{2}\log(1-A^2)+I_1$$
y luego hallamos \(I_1\)
$$I_1=\int_0^A\frac{x^3}{1-x^2}\, dx=\int_0^A\left(-x+\frac{x}{1-x^2}\right)\, dx=$$
$$=\left.\frac{-x^2}{2}-\frac{1}{2}\log(1-x^2)\right]_0^A=\frac{-A^2}{2}-\frac{1}{2}\log(1-A^2)$$resultará$$I_A=\frac{1}{2}(A^2-1)\log(1-A^2)-\frac{A^2}{2}$$
Debemos ahora hacer el límite cuando \(A\) tiende a 1 por la izquierda, puesto que$$\text{área}=-2\lim_{A\rightarrow 1^{-}} I_A$$pero antes podemos operar y escribir$$\text{área}=-2\lim_{A\rightarrow 1^{-}} \left(\frac{1}{2}(A^2-1)\log(1-A^2)-\frac{A^2}{2}\right)=1-\lim_{A\rightarrow 1^{-}} (1-A^2)\log(1-A^2)$$Este último límite vale (elige la opción correcta)
$$\lim_{A\rightarrow 1^{-}} (1-A^2)\log(1-A^2)=0\cdot \infty=\text{indeterminación}$$Por tanto, concluyo que no se puede calcular el área.
$$\lim_{A\rightarrow 1^{-}} (1-A^2)\log(1-A^2)=\infty$$Por tanto, concluyo que el área es infinita.
$$\lim_{A\rightarrow 1^{-}} (1-A^2)\log(1-A^2)=0$$Por tanto, concluyo que el área es 1 unidad de área.
¡No!, es cierto que el límite es una indeterminación, pero puede resolverse y calcular el área.
¡No!, has calculado mal el límite.
En efecto, ese límite es cero. Una forma fácil de hacerlo es utilizando L'Hôpital en $$\lim_{u\rightarrow 0} u \log u$$
Resumen
Analizar el dominio y el comportamiento de la función que limita el área (asíntotas, signo, simetrías)
Plantear la integral que da el área y observar que es impropia.
