¡No!, Está mal el integrando y el intervalo de integración.
¡No!, Está mal el integrando y el intervalo de integración.
??No!, Está mal el integrando.
En efecto, esa es la integral. Veamos por qué:analizando la curva $$y^2=\frac{a-x}{a+x}$$ observamos que
pasa por el punto \((a,0)\)
es simétrica respecto al eje OX, luego el área pedida es la limitada entre las gráficas de
por arriba y a la derecha: $$y_1(x)=\sqrt{\, \frac{a-x}{a+x}}$$
por abajo y a la derecha: $$y_2(x)=-\sqrt{\, \frac{a-x}{a+x}}$$
por la izquierda: $$y_3(x)=-a$$
el dominio de definición de \(y_1(x)\) e\(y_2(x)\) coinciden con el dominio de integración, pues$$y^2=\frac{a-x}{a+x}\geq 0 \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \left\{\begin{array}{l}a-x\geq 0\ \ \wedge\ \ a+x>0 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x\in (-a,a]\\a-x\leq 0\ \\wedge\ \ a+x<0 \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \text{Absurdo}\end{array}\right\}$$
De todo esto y de la teoría se deduce que efectivamente,$$\text{área}=\int_{-a}^a{\, \left [y_1(x)-\left (-y_2(x)\right)\right ]\, dx}=2\int_{-a}^a{\sqrt{\, \frac{a-x}{a+x}}\, dx}$$
Paso 2
Resolveremos esa integral poniendo$$\sqrt{\, \frac{a-x}{a+x}}=\frac{a-x}{\sqrt{\, a^2-x^2}}$$y haciendo el cambio de variable \(x=a\, \mbox{sen}\, t\): (hazlo tú y pulsa en continuar cuando lo tengas)
El área es$$\text{área}=2\int_{-a}^a{\, \frac{a-x}{\sqrt{\, a^2-x^2}}\, dx}=\left\{\begin{array}{cc}x=a\mbox{sen}\, t \ , & x=-a \ \ \Rightarrow \ \ t=-\frac{\pi}{2}\\dx=a\cos t \, dt \ ,& x=a\ \ \Rightarrow \ \ t=\frac{\pi}{2}\end{array}\right\}=$$ $$=2a\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{(1-\mbox{sen}\, t)dt}=2a[t+\cos t]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=2a\pi$$
Solución trabajando con funciones \(x=x(y)\)
Paso 1
De \(y^2=\frac{a-x}{a+x}\) despejamos la \(x\) en función de \(y\). Hazlo tú y pulsa en 'Ver' cuando esté listo.
Ver
En efecto, \(x\) en función de \(y\) es$$x=a\, \frac{1-y^2}{1+y^2}$$
¡No!, mal el integrando y los límites de integración: la variable \(y\) debe recorrer todo el eje.
¡No!, mal el integrando: debes encontrar el área entre dos curvas, no el área entre una curva y el eje.
¡Sí! esto es lo correcto.
Paso 2
Ahora sólo falta operar el integrado y evaluar la integral (termínalo y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas)
Ver
En efecto, sabiendo cómo se hace esta integral impropia (ver Teoría)$$\text{área}=2a\int_{-\infty}^\infty{\, \frac{dy}{1+y^2}}=4a\int_0^\infty{\frac{dy}{1+y^2}}=4a[\mbox{arctg}\, y]_0^\infty=2a\pi$$
Resumen
Opción A: Trabajar con funciones \(y=y(x)\)
Encontrar las funciones \(y=y(x)\) cuyas gráficas delimitan la región y hallar los límites de integración (dominio, asíntota)
Resolver la integral.
Opción B: Trabajar con funciones \(x=x(y)\)
Encontrar las funciones \(x=x(y)\) cuyas gráficas delimitan la región, incluida la asíntota; hallar el dominio de integración (rango de las \(y=y(x)\))
En efecto, esa es la integral. Veamos por qué:analizando la curva $$y^2=\frac{a-x}{a+x}$$ observamos que