El método de separación de variables, sin ser aplicable a todas las ecuaciones, conduce a la solución de muchos de los problemas que aparecen en las aplicaciones elementales de ingeniería y que son resolubles. Se basa en convertir un problema de derivadas parciales en otros de derivadas ordinarias, para los cuales existan métodos de resolución. Para ello se supone que la solución del problema, $u(x,t)$, puede escribirse como combinación lineal infinita de funciones $u_n(x,t)$, para $n=0$, $1$, $2$, $\ldots$, que satisfagan la ecuación y las condiciones de frontera homogéneas. En este paso, la superposición, es fundamental la linealidad de la ecuación y la homogeneidad de las condiciones de frontera. Después, para determinar la componente $u_n(x,t)$, se supone que puede expresarse como el producto de una función de $x$ por una función de $t$, esto es, que sus variables intervienen separadamente: $$u_n(x,t)=X_n(x)T_n(t)$$ La sustitución de este producto en la ecuación y la imposición de las condiciones de frontera conducirán a dos ecuaciones diferenciales ordinarias, cuya resolución determinará $X_n(x)$ y $T_n(t)$.

Puedes ver cómo se aplica el método de separación de variables y superposición en los siguientes problemas de contorno:

• En un problema del calor unidimensional

• En un problema de ondas unidimensional

• En un problema de Laplace