Nos centramos en la ecuación $$u'_t=cu''_{xx}\ \ ,\ \ \ 0<x<L,\ t>0 $$ con la condición inicial $$u(x,0)=f(x)\ \ ,\ \ \ 0\leq x \leq L$$ y condiciones homogéneas en la frontera $$u(0,t)=0\ \ ,\ \ u(L,t)=0\ \ ,\ \ \ t>0$$ El proceso de búsqueda de solución formal (Solución formal quiere decir que no se entra a demostrar condiciones de convergencia o no de la serie funcional en que queda expresada la solución o en qué medida representan a las funciones buscadas) del problema formado por la ecuación junto con estas tres condiciones, consta de los siguientes pasos:

1. Tomar una función de la forma $u(x,t)=X(x)T(t)$ e imponer que cumpla la e.d.p: $$\left.\begin{array}{l}u'_t(x,t)=X(x)T'(t) \\ u''_{xx}(x,t)=X''(x)T(t) \end{array}\right\} \ \ \Rightarrow \ \ \frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{T'(t)}{cT(t)}=-\lambda \ \ \Rightarrow \ \ \left.\begin{array}{l} X''+\lambda X=0 \\ T'+\lambda c T=0 \end{array}\right\}$$ donde la expresión intermedia se debe a que se están igualando dos funciones dependientes de distintas variables.

2. Considerar la e.d.o obtenida para $X(x)$ y añadirle las condiciones resultantes de imponer a $u(x,t)=X(x)T(t)$ las condiciones de frontera: $$u(0,t)=X(0)T(t)=0 \ \ \Rightarrow \ \ X(0)=0$$ $$u(L,t)=X(L)T(t)=0 \ \ \Rightarrow \ \ X(L)=0$$ con lo cual el problema para $X(x)$ es $$\left\{\begin{array}{l} X''+\lambda X=0 \\ X(0)=X(L)=0\end{array}\right.$$

3. Resolver el problema obtenido en el paso anterior: la ecuación es lineal homogénea de coeficientes constantes, luego para hallar su solución general buscamos las raíces de la ecuación característica $$r=\pm\sqrt{-\lambda}$$ Debemos distinguir tres casos:

   • Si $\lambda <0$, podemos expresar $\lambda=-\alpha^2$, con $\alpha>0$; la solución general de $X''+\lambda X=0$ es $$X(x)=Ae^{\alpha x}+Be^{-\alpha x}$$ e imponiendo las condiciones $X(0)=0=X(L)$: $$X(0)=0 \ \ \Rightarrow \ \ B=-A , \ \ \ X(L)=0 \ \ \Rightarrow \ \ A(e^{\alpha L}-e^{-\alpha L})=0$$ de donde se deduce que la única solución en este caso es que $X=0$.

   • Si $\lambda=0$, la solución general de $X''+\lambda X=0$ es $$X(x)=Ax+B$$ e imponiendo las condiciones $X(0)=0=X(L)$: $$X(0)=0 \ \ \Rightarrow \ \ B=0 , \ \ \ X(L)=0 \ \ \Rightarrow \ \ AL+B=0$$ de donde se deduce que $A=0=B$. Tampoco hay solución no trivial en este caso.

   • Si $\lambda>0$, podemos expresar $\lambda=\alpha^2$, con $\alpha>0$; la solución general de $X''+\lambda X=0$ es $$X(x)=A\cos \alpha x+B\mbox{sen}\, \alpha x$$ e imponiendo las condiciones $X(0)=0=X(L)$: $$X(0)=0 \ \ \Rightarrow \ \ A=0 , \ \ \ X(L)=0 \ \ \Rightarrow \ \ B\mbox{sen}\, \alpha L=0$$ de donde, puesto que $\alpha>0$, $$\alpha L=n\pi \ \ , \ \ n\in{\bf N}$$ Luego existe una familia infinita de valores $$\sqrt{\lambda_n}=\alpha_n=\frac{n\pi}{L} \ \ , \ \ n\in{\bf N}$$ para los cuales el problema para $X(x)$ tiene solución, correspondiendo a cada $\alpha_n$ la solución $$X_n(x)=\mbox{sen}\, \alpha_n x=\mbox{sen} \frac{n\pi}{L}x \ \ , \ \ n\in{\bf N}$$

4. Retomar el problema para la variable $t$: habrá una ecuación de la forma $T'+\lambda c T=0$ para cada $\lambda_n$: $$T'_n+\lambda_n c T_n=0 \ \ , \ \ \lambda_n=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 \ \ , \ \ n\in{\bf N}$$ La solución general de esta ecuación está formada por los múltiplos de $$T_n(t)=e^{-c\lambda_n t} \ \ , \ \ \lambda_n=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 \ \ , \ \ n\in{\bf N}$$ Esto quiere decir que las soluciones de $u'_t=cu''_{xx}$ de la forma $u(x,t)=X(x)T(t)$ y que cumplen también las condiciones de frontera son los múltiplos de $$u_n(x,t)=X_n(x)T_n(t)=e^{-c\lambda_n t}\mbox{sen}\, \frac{n\pi}{L} x \ \ , \ \ \lambda_n=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 \ \ , \ \ n\in{\bf N}$$

5. Superponer estas funciones, considerando la función formada como combinación lineal infinita de todas las $u_n(x,t)$: $$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty c_nu_n(x,t)$$

6. Imponer que esta función cumpla la condición inicial $$u(x,0)=f(x)=\sum_{n=1}^\infty c_nu_n(x,0)=\sum_{n=1}^\infty c_n \mbox{sen}\, \frac{n\pi}{L} x $$ Este última expresión es la serie de Fourier en senos de la función $f(x)$ en el intervalo $[0,L]$, por lo que $$c_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\mbox{sen}\left(\frac{n\pi}{L} x\right)\, dx$$ son los coeficientes de la solución $$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty c_n e^{-c\lambda_n t}\mbox{sen}\frac{n\pi}{L} x \ \ \ , \ \ \ \mbox{con} \ \ \lambda_n=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2$$