Consideramos la ecuación $$u''_{tt}=c^2u''_{xx}\ \ ,\ \ \ 0<x<L,\ t>0 $$ con las condiciones iniciales $$u(x,0)=f(x) \ \ ,\ \ u'_t(x,0)=g(x)\ \ ,\ \ \ 0\leq x \leq L$$ y condiciones homogéneas en la frontera $$u(0,t)=0\ \ ,\ \ u(L,t)=0\ \ ,\ \ \ t>0$$ El proceso de búsqueda de solución formal (Solución formal quiere decir que no se entra a demostrar condiciones de convergencia o no de la serie funcional en que queda expresada la solución o en qué medida representan a las funciones buscadas) del problema formado por la ecuación junto con estas cuatro condiciones, consta de los siguientes pasos:

1. Tomar una función de la forma $u(x,t)=X(x)T(t)$ e imponer que cumpla la e.d.p: $$\left.\begin{array}{l}u''_{tt}(x,t)=X(x)T''(t) \\ u''_{xx}(x,t)=X''(x)T(t) \end{array}\right\} \ \ \Rightarrow \ \ \frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{T''(t)}{c^2T(t)}=-\lambda \ \ \Rightarrow \ \ \left.\begin{array}{l} X''+\lambda X=0 \\ T''+\lambda c^2 T=0 \end{array}\right\}$$ donde la expresión intermedia se debe a que se están igualando dos funciones dependientes de distintas variables.

2. Considerar la e.d.o obtenida para $X(x)$ y añadirle las condiciones resultantes de imponer a $u(x,t)=X(x)T(t)$ las condiciones de frontera: $$u(0,t)=X(0)T(t)=0 \ \ \Rightarrow \ \ X(0)=0$$ $$u(L,t)=X(L)T(t)=0 \ \ \Rightarrow \ \ X(L)=0$$ con lo cual el problema para $X(x)$ es $$\left\{\begin{array}{l} X''+\lambda X=0 \\ X(0)=X(L)=0\end{array}\right.$$

3. Resolver el problema obtenido en el paso anterior: esto puede verse resuelto en la página en la que se aplica separación de variables al problema del calor.

4. Retomar el problema para la variable $t$: habrá una ecuación de la forma $T''+\lambda c^2 T=0$ para cada $\lambda_n$, $$T''_n+\lambda_n c^2 T_n=0 \ \ , \ \ \lambda_n=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 \ \ , \ \ n\in{\bf N}$$ La solución general de esta ecuación es $$T_n(t)=A_n\cos (c\alpha_n t)+B_n\mbox{sen}\, (c\alpha_n t) \ \ , \ \ \alpha_n=\frac{n\pi}{L} \ \ , \ \ n\in{\bf N}$$ Esto quiere decir que las soluciones de $u'_t=cu''_{xx}$ de la forma $u(x,t)=X(x)T(t)$ y que cumplen también las condiciones de frontera son $$u_n(x,t)=X_n(x)T_n(t)=\left[A_n\cos (c\alpha_n t)+B_n\mbox{sen}(c\alpha_n t)\right]\mbox{sen}\frac{n\pi}{L} x \ \ , \ \ \alpha_n=\frac{n\pi}{L} \ \ , \ \ n\in{\bf N}$$

5. Superponer estas funciones, considerando la función suma de todas las $u_n(x,t)$: $$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x,t)$$

6. Imponer que esta función cumpla las condiciones iniciales, $$u(x,0)=f(x)=\sum_{n=1}^\infty A_n\mbox{sen}\, \frac{n\pi}{L} x \ \ \Rightarrow \ \ A_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\mbox{sen}\left(\frac{n\pi}{L} x\right)\, dx$$ $$u'_t(x,0)=g(x)=\sum_{n=1}^\infty B_n \frac{cn\pi}{L}\mbox{sen}\, \frac{n\pi}{L} x \ \ \Rightarrow \ \ B_n=\frac{2}{cn\pi}\int_0^L g(x)\mbox{sen}\left(\frac{n\pi}{L} x\right)\, dx$$ Estos coeficientes $A_n$ y $B_n$ son los de la solución $$u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty \left[A_n\cos (c\frac{n\pi}{L} t)+B_n\mbox{sen}(c\frac{n\pi}{L} t)\right]\mbox{sen}\, \frac{n\pi}{L} x$$