Consideramos el problema de Laplace formado por la ecuación $$u''_{xx}+u''_{yy}=0\ \ ,\ \ \ 0<x<L,\ 0<y<M$$ las condiciones de frontera en los lados $x$ cte. $$u(0,y)=0\ \ ,\ \ u(L,y)=0 \ , \ \ \ 0\leq y\leq M$$ y las condiciones de frontera en los lados $y$ cte. $$u(x,0)=f(x)\ \ ,\ \ u(x,M)=g(x) \ , \ \ \ 0\leq x\leq L$$ La búsqueda de solución formal (Solución formal quiere decir que no se entra a demostrar condiciones de convergencia o no de la serie funcional en que queda expresada la solución o en qué medida representan a las funciones buscadas) del problema formado por la ecuación junto con estas cuatro condiciones, consta de los siguientes pasos:

1. Tomar una función de la forma $u(x,y)=X(x)Y(y)$ e imponer que cumpla la e.d.p: $$\left.\begin{array}{l}u''_{xx}(x,y)=X''(x)Y(y) \\ u''_{yy}(x,y)=X(x)Y''(y) \end{array}\right\} \ \ \Rightarrow \ \ \frac{X''(x)}{X(x)}=-\frac{Y''(y)}{Y(y)}=-\lambda \ \ \Rightarrow \ \ \left.\begin{array}{l} X''+\lambda X=0 \\ Y''-\lambda Y=0 \end{array}\right\}$$

2. Considerar de entre éstas, la e.d.o correspondiente a la variable en la que las condiciones de frontera sean homogéneas; en este caso es la variable $x$. Al imponer a $u(x,y)=X(x)Y(y)$ las condiciones de frontera en los lados $x$ cte. obtendremos para $X(x)$ el mismo problema que en casos anteriores.

3. Resolver el problema obtenido en el paso anterior: esto puede verse resuelto en la página en la que se aplica separación de variables al problema del calor. Se obtiene la familia infinita de soluciones $$X_n(x)=\mbox{sen}\, \alpha_n x=\mbox{sen} \frac{n\pi}{L}x \ \ , \ \ n\in{\bf N}$$

4. Retomar el problema para la variable $y$: habrá una ecuación de la forma $Y''-\lambda Y=0$ para cada $\lambda_n$: $$Y''_n-\lambda_n Y_n=0 \ \ , \ \ \lambda_n=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 \ \ , \ \ n\in{\bf N}$$ La solución general de esta ecuación es $$Y_n(y)=A_ne^{\alpha_ny}+B_ne^{-\alpha_ny} \ \ , \ \ \alpha_n=\frac{n\pi}{L} \ \ , \ \ n\in{\bf N}$$

5. Superponer estas funciones, considerando la función suma de todas las $u_n(x,t)$: $$u(x,y)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x,y)=\sum_{n=1}^\infty (A_ne^{n\pi y/L}+B_ne^{-n \pi y/L})\mbox{sen}\, \frac{n\pi}{L} x$$

6. Imponer que esta función cumpla las condiciones de frontera de (\ref{ec11t7}), $$u(x,0)=f(x)=\sum_{n=1}^\infty (A_n+B_n)\mbox{sen}\frac{n\pi}{L} x$$ $$u(x,M)=g(x)=\sum_{n=1}^\infty (A_ne^{n\pi M/L}+B_ne^{-n\pi M/L}) \mbox{sen}\frac{n\pi}{L} x$$ Los coeficientes $A_n$ y $B_n$ se obtendrán del sistema $$A_n+B_n=\frac{2}{L}\int_0^L f(x)\mbox{sen}\frac{n\pi}{L} x\, dx \ \ ; \ \ A_ne^{n\pi M/L}+B_ne^{-n\pi M/L}=\frac{2}{L}\int_0^L g(x)\mbox{sen}\frac{n\pi}{L} x\, dx$$