Para dibujar esta curva en el ordenador, definiremos un vector de parámetros sobre el que definir las coordenadas $x$, $y$ y $z$ para trazar la curva. Inténtalo y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.

t=pi/2:pi/20:13*pi/2;   % vector de parámetros
plot3(t.*cos(t),t.*sin(t),t/2)  % trazado de la curva
grid on

Resolución del segundo apartado

Recordamos cómo se calcula la longitud de una curva. El elemento diferencial de arco de $C$ es

$$\mbox{longitud}(C)=\int_C ds=\int_{\pi/2}^{13\pi/2} \sqrt{\frac{5}{4} +t^2}\, dt$$ Para calcular a mano esta integral podemos hacer el cambio de variable $$t=\frac{\sqrt{5}}{2}\,\mbox{Sh}\, u$$ que la convierte en $$\frac{5}{8}\int_{u_1}^{u_2} \mbox{Ch}^2u \, du=\frac{5}{8}\int_{u_1}^{u_2} (1+\mbox{Ch}\, 2u)\, du$$ siendo $u_1=\mbox{ArgSh}\, \frac{\pi}{\sqrt{5}}$ y $u_2=\mbox{ArgSh}\, \frac{13\pi}{\sqrt{5}}$, de donde $$\mbox{longitud}(C)=\frac{5}{8}\left[u+\frac{1}{2}\mbox{Sh}\, 2u\right]_{u_1}^{u_2}$$ Para terminar este cálculo y tener una expresión decimal para la longitud utilizamos el ordenador o la calculadora, $$\mbox{longitud}(C)=208.8296$$ Otra opción es hacer uso del ordenador desde el principio del cálculo de la integral, poniendo

 syms u
longitud=double(int(sqrt(5/4+u^2),u,pi/2,13*pi/2))

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Resolución del tercer apartado

Una de las aplicaciones de la integral de línea de un campo escalar es el cálculo de la temperatura media de un alambre. La longitud ya la tenemos calculada en el apartado anterior, así que falta hallar la integral de la temperatura a lo largo de $C$: $$I=\int_C T(x,y,z)\, ds=\int_{\pi/2}^{13\pi/2} T(x(t),y(t),z(t))\, \sqrt{\frac{5}{4} +t^2}\, dt $$ Encuentra $T(x(t),y(t),z(t))$ y realiza la integral simple (en este caso es inmediata). Pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.

Resolución del cuarto apartado

Se trata ahora de localizar el punto, o los puntos, del alambre que están a temperatura media. Esos puntos deben cumplir que $$T(x(t),y(t),z(t))=\frac{t}{2\sqrt{\frac{5}{4}+t^2}}=T_m$$ Las soluciones posibles de esta ecuación son

Luego sólo hay un punto a temperatura media, que es $$P(x(t_m),y(t_m),z(t_m))$$ podemos añadirle al dibujo de la curva, poniendo

syms u
longitud=double(int(sqrt(5/4+u^2),u,pi/2,13*pi/2));
Tm=21*pi^2/2/longitud;
tm=sqrt(5)*Tm/sqrt(1-4*Tm^2);
hold on
 plot3(tm*cos(tm),tm*sin(tm),tm/2,'o') % para dibujar el punto donde se alcanza la temp. media
hold off

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Resolución del quinto apartado

• Dibujamos la curva $C^*=C_1\cup L\cup C_2$ donde:
  • $C_1$: arco de $C$ para $t\in[\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{2}]$
  • $L$: segmento recto en el plano $x=0$ entre los puntos $P_2(0, \frac{5\pi}{2},\frac{5\pi}{4})$ y $P_3(0, \frac{9\pi}{2},\frac{9\pi}{4})$
  • $C_2$: arco de $C$ para $t\in[\frac{9\pi}{2},\frac{13\pi}{2}]$
  con

  t=[pi/2:pi/10:5*pi/2 9*pi/2:pi/10:13*pi/2]; % vector de parámetros
  plot3(t.*cos(t),t.*sin(t),t/2) % trazado de la curva
  grid on
  

  En realidad le estamos dando para dibujar únicamente los puntos de los arcos $C_1$ y $C_2$; el tramo $L$, al ser un segmento recto queda dibujado al unir el último punto de $C_1$ con el primero de $C_2$:
  
  

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• Calculamos la longitud de $C^*$: utilizaremos el ordenador para hallar las longitudes de los arcos $C_1$ y $C_2$ y luego le sumaremos la longitud del segmento $L$. Inténtalo tú y pulsa en 'Ver'.

syms u
fl=int(sqrt(1+a^2+u^2),u);
longitud=double(subs(fl,u,5*pi/2)-subs(fl,u,pi/2)+sqrt(5)*pi+subs(fl,u,13*pi/2)-subs(fl,u,9*pi/2))

• La integral a lo largo de $C^*$ de la temperatura es

Una parametrización sencilla es tomar $$L: \hspace{.4cm} x=0 ,\hspace{.3cm} y=\frac{5\pi}{2}+2\pi t,\hspace{.3cm} z=\frac{5\pi}{4}+\pi t,\hspace{.4cm} t\in[0,1]$$ La función temperatura sobre los puntos de $L$ es $$T(x(t),y(t),z(t))=\pi\frac{5+4t}{4\sqrt{\frac{5}{4}+(\frac{5\pi}{2}+2\pi t)^2}}$$ La utilizamos para calcular la integral de la temperatura sobre la curva:

int1=double(int(u/2,u,pi/2,5*pi/2));
int2=double(int(u/2,u,9*pi/2,13*pi/2));
int3=double(sqrt(5)*pi^2*int((5/4+u)/sqrt(5/4+(5*pi/2+2*pi*u)^2),u,0,1));
integral=int1+int2+int3

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• La temperatura media puede ser calculada ahora fácilmente con

  Tm=integral/longitud
  

de donde

Tm= 0.4958

y el punto $P(x,y,z)$ que está a la temperatura $T_m$ debe cumplir que $$z=T_m\sqrt{\frac{5}{4}+x^2+y^2}$$ Si fuera un punto del arco $C_1$ o del $C_2$, el valor $t_m$ del parámetro tendría que cumplir que $$t_m=\frac{\sqrt{5} T_m}{\sqrt{1-4T_m^2}}$$

Debemos igualar $T_m$ a la expresión de la función temperatura sobre el segmento $L$: $$\pi\frac{5+4t}{4\sqrt{\frac{5}{4}+(\frac{5\pi}{2}+2\pi t)^2}}=T_m$$ Elevando al cuadrado, tendremos que $$(5+4t)^2=\frac{16}{\pi^2}T_m^2\left(\frac{5}{4}+(\frac{5\pi}{2}+2\pi t)^2\right)$$ Esta ecuación se puede resolver a mano (es una ecuación polinómica de grado 2), pero si queremos ahorrarnos cuentas utilizaremos el ordenador. Ejecutando (se supone que $u$ ya está declarada antes como simbólica)

r=double(solve((5+4*u)^2-16*Tm^2*(5/4+(5*pi/2+2*pi*u)^2)/pi^2)) % vector con las dos soluciones

obtendremos dos raíces, pero sólo una es positiva: $$r= 0.1080$$ El punto del segmento $L$ correspondiente a ese valor del parámetro está a temperatura $T_m$. Podemos calcular sus coordenadas y marcar su situación sobre la curva $C^*$, añadiendo las siguientes líneas:

coordy=5*pi/2+2*pi*r(2); % la solución válida de la ecuación anterior es r(2)
p=[0, coordy ,coordy/2]
hold on
plot3(0, coordy ,coordy/2,'o')
hold off

obtendremos que el punto es $P(0,8.5327,4.2663)$ y la figura resultante es

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Resolución del sexto apartado

El campo vectorial flujo de calor es el gradiente de la temperatura: ${\bf T}=\nabla T$. En la siguiente figura puedes ver una muestra de este campo vectorial sobre puntos de la curva $C$; en ella se aprecia que la dirección de estos vectores es muy diferente a la dirección tangente a la curva, lo que hace preveer que la integral debe darnos un valor cercano al cero:

En este apartado debemos hallar la integral de ${\bf T}$ a la largo de las curvas $C$ y $C^*$. Para ello

El punto inicial de $C$ es $P_1(0,\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4})$ y el final es $P_4(0,13\frac{\pi}{2},13\frac{\pi}{4})$, luego $$\int_C {\bf T}\cdot d{\bf r}= T(P_4)-T(P_1)=\frac{13\pi}{4\sqrt{\frac{5}{4}+169\frac{\pi^2}{4}}}-\frac{\pi}{4\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{\pi^2}{4}}}=0.0919$$ Puesto que los puntos inicial y final de $C^*$ son los mismos, sabemos que $$\int_{C^*} {\bf T}\cdot d{\bf r}=\int_C {\bf T}\cdot d{\bf r}$$