Enunciado

La función $f(x,y)$ es diferenciable en el punto $(3,1)$ del plano. Además, sabemos que $f(3,1)=2$ y que las derivadas direccionales de $f$ en $(3,1)$ respecto de las direcciones ${\bf u}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$ y ${\bf v}=\frac{1}{\sqrt{5}}(2,1)$ son $$D_{\bf u}f(3,1)=\sqrt{2} \ \ \ \mbox{y}\ \ \ D_{\bf v}f(3,1)=-1$$

1. Dibuja a mano y en el ordenador los vectores ${\bf u}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$ y ${\bf v}=\frac{1}{\sqrt{5}}(2,1)$ situados en el punto $(3,1)$. Halla y representa el vector gradiente de $f$ en $(3,1)$.
2. Encuentra la ecuación del plano tangente a la superficie $z=f(x,y)$ en el punto $(3,1)$.
3. Colocamos una bola en la superficie $z=f(x,y)$, en el punto correspondiente a las coordenadas $(3,1)$. ¿Hacia qué dirección cae la bola si la soltamos en ese punto? ¿Cuál será el vector tangente a su trayectoria? Dibuja ese vector y una porción de plano tangente que contenga al punto donde se suelta la bola.
4. Ahora colocamos la bola no en la superficie sino en el plano tangente calculado antes. ¿Cuánta altura perdería la bola si avanzase 3 unidades de longitud desde el punto correspondiente a $(3,1)$ hacia el punto correspondiente a $(0,2)$? Dibuja el plano tangente y la trayectoria de la bola.

Resolución del primer apartado

Para dibujar las direcciones ${\bf u}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$ y ${\bf v}=\frac{1}{\sqrt{5}}(2,1)$ situadas en el punto $(3,1)$ pondremos

quiver([3 3], [1 1], [1/sqrt(2) 2/sqrt(5)], [-1/sqrt(2) 1/sqrt(5)])
axis equal
grid on

Ahora hemos de calcular el vector gradiente.

Paso 1

Para simplificar la escritura llamamos $$a=f'_x(3,1)\hspace{.2cm} , \hspace{.2cm} b=f'_y(3,1)$$ Sabemos cómo se escribe la derivada direccional de una función diferenciable utilizando el gradiente. Aplicando este resultado aquí, obtendremos un sistema de dos ecuaciones en las incógnitas $a$ y $b$. Encuentra ese sistema y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.

Ver

En efecto, con la derivada respecto de ${\bf u}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$, tenemos $$D_{\bf u}f(3,1)=(a,b)\cdot {\bf u}=\frac{1}{\sqrt{2}}(a-b)=\sqrt{2}$$ y con la derivada respecto de ${\bf v}=\frac{1}{\sqrt{5}}(2,1)$, $$D_{\bf v}f(3,1)=(a,b)\cdot {\bf v}=\frac{1}{\sqrt{5}}(2a+b)=-1$$ con lo cual $$a-b=2\ \ \ \mbox{y}\ \ \ 2a+b=-\sqrt{5}$$

Paso 2

Resuelve este sistema y pulsa en 'Continuar'
Continuar

La solución de este sistema es $$a=\frac{2-\sqrt{5}}{3}\ \ ,\ \ b=-\frac{4+\sqrt{5}}{3}$$ Para dibujar el vector gradiente de $f$ en la misma figura que los anteriores, añadiremos las líneas

hold on
quiver(3,1,(2-sqrt(5))/3,-(4+sqrt(5))/3,'r')
hold off

Continuar

Resolución del segundo apartado

El plano tangente contiene a todos los puntos $(x,y,z)$ que cumplan que el vector $(x-3,y-1,z-2)$ sea perpendicular al vector $(f'_x(3,1),f'_y(3,1),-1)$. Por tanto, en este caso es

$$3z=6+(\sqrt{5}-2)(x-3)+(4+\sqrt{5})(y-1)$$

$$\frac{2-\sqrt{5}}{3}(x-3)-\frac{4+\sqrt{5}}{3}(y-1)-z+2=0$$

No es correcto; comprueba los signos. Elige de nuevo

En efecto, esa es una expresión para el plano tangente, en la que podemos operar, obteniendo $$3z=(2-\sqrt{5})x-(4+\sqrt{5})y+4(1+\sqrt{5})$$
Continuar

El vector tangente es $$\left(\frac{\sqrt{5}-2}{3|\nabla f|},\frac{4+\sqrt{5}}{3|\nabla f|},-\nabla f\right)=\left(\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{30+4\sqrt{5}}},\frac{4+\sqrt{5}}{\sqrt{30+4\sqrt{5}}},-\frac{\sqrt{30+4\sqrt{5}}}{3}\right)$$ Para hacer la siguiente figura con una porción del plano tangente y el vector tangente a la trayectoria de la bola

hemos utilizado el código

plot3(3,1,2,'*') % punto donde se suelta la bola
[X,Y]=meshgrid(2.5:3.5,0:2); % malla para dibujar porción de plano
hold on
surf(X,Y,2+(2-sqrt(5))*(X-3)/3-(4+sqrt(5))*(Y-1)/3) % plano
shading interp
alpha(.6)
view([-80,22])
grid on
n=norm([(-2+sqrt(5))/3,(4+sqrt(5))/3]); % módulo del vector gradiente
quiver3(3,1,2,(-2+sqrt(5))/(3*n),(4+sqrt(5))/(3*n),-n,'r') % vector tangente
hold off

También puede ser ilustrativo verlo desde arriba:

Continuar

Paso 3

Una vez conocida la pendiente de la trayectoria, debemos calcular su arcotangente, que nos dará el ángulo, $\alpha$, que forma con la horizontal. La variación en la altura de la bola es $$3\,\mbox{sen}\, \alpha$$ Para hacer estos cálculos recurrimos a una calculadora o al ordenador. Inténtalo y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.

Ver

escribiendo

w=[-3/sqrt(10),1/sqrt(10)];     % dirección en el plano
m=sum([(2-sqrt(5))/3  -(4+sqrt(5))/3].*w); % derivada dirección según w
3*sin(atan(m))                  % incremento vertical

concluimos que el incremento vertical es -1.5104.
Continuar

Una alternativa para el cálculo del cambio de altura es utilizar el vector tangente a la trayectoria $${\bf U}=\frac{1}{\sqrt{10}}\left(-3,1,\frac{-10+2\sqrt{5}}{3}\right)$$ y normalizarlo a $1$; la tercera componente de $3\frac{{\bf U}}{|{\bf U}|}$ es la variación pedida. Lo podemos calcular en el ordenador con las siguientes líneas

w=[-3/sqrt(10),1/sqrt(10)]; % dirección en el plano
m=sum([(2-sqrt(5))/3  -(4+sqrt(5))/3].*w); % derivada dirección según w
v=[w m]; % vector tangente a la trayectoria
pf=[3 1 2]+3*v/norm(v); % coordenadas del punto final del recorrido
pf(3)-2 % variación de la altura de la bola desde el pto inicial hasta el final

Por último dibujamos la trayectoria (en azul) seguida por la bola sobre el plano tangente; en verde se dibuja la dirección en el plano $z=0$.

Para ello añadimos las siguientes a las líneas anteriores:

plot3(3, 1 ,2,'*') % dibujo del punto
hold on
quiver(3,1,w(1), w(2)) % dirección en el plano z=0
plot3([3 pf(1)],[1 pf(2)],[2 pf(3)]) % trayectoria de la bola
[X,Y]=meshgrid(.5:3.5,0:2); % malla para dibujar el plano
surf(X,Y,2+(2-sqrt(5))*(X-3)/3-(4+sqrt(5))*(Y-1)/3) % porción del plano tangente
shading interp
alpha(.6)
view([206,46])
grid on
hold off

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