Derivada direccional

Si $z=f(x,y)$ es una función de dos variables y ${\bf u}=(\cos \varphi,\mbox{sen}\, \varphi)$ es una dirección, se define la derivada direccional de $f$ en el punto $(a,b)$ en la dirección de ${\bf u}$ como el valor del siguiente límite en caso de que exista: $$\lim_{t\rightarrow 0} \frac{f(a+t\cos \varphi,b+t\, \mbox{sen}\, \varphi)-f(a,b)}{t}=D_{\bf u}f(a,b)$$ y es la pendiente de la recta tangente en el punto $(a,b,f(a,b))$ a la curva contenida a la vez en la superficie $z=f(x,y)$ y en el plano vertical en la dirección ${\bf u}$.

Si $f$ es una función diferenciable en $(a,b)$, entonces la derivada direccional de $f$ en la dirección ${\bf u}=(\cos \varphi,\mbox{sen}\, \varphi)$ es el producto escalar del gradiente de $f$ en $(a,b)$ por la dirección ${\bf u}$: $$D_{\bf u}f(a,b)=\nabla f(a,b)\cdot {\bf u}=f'_x(a,b)\cos \varphi+f'_y(a,b)\,\mbox{sen}\, \varphi$$