Definición y propiedades del gradiente

Si $z=f(x,y)$ es una función de dos variables se define el gradiente de $f$ en el punto $(a,b)$ como el vector: $$\nabla f(a,b)=(f'_x(a,b),f'_y(a,b))$$ El gradiente cumple las siguientes propiedades:
  1. Si el gradiente de $f$ en $(a,b)$ es el vector nulo, entones la derivada de $f$ en cualquier dirección es cero.
  2. La dirección de máximo crecimiento de $f$ en el punto $(a,b)$ viene dada por $\nabla f(a,b)$. El valor máximo de la derivada direccional es $|\nabla f(a,b)|$.
  3. La dirección de máximo decrecimiento de $f$ en el punto $(a,b)$ viene dada por $-\nabla f(a,b)$. El valor mínimo de la derivada direccional es $-|\nabla f(a,b)|$.
  4. El vector gradiente en un punto es normal a la curva de nivel correspondiente a ese punto.