Dibujamos una muestra de la extensión $\frac{\pi}{2}$-periódica par, por ejemplo en un intervalo que abarca tres periodos:

Para extender con simetría par a todo el eje real la función conocida sólo en medio periodo debemos utilizar la serie de Fourier de cosenos. En este caso $p=\frac{\pi}{4}$ y $w=4$, luego el desarrollo en serie de cosenos de $f(x)$ y sus coeficientes es $$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos 4nx\ \ ,\ \ \ a_n=\frac{8}{\pi}\int_{0}^{\pi/4} \mbox{sen}\, x\, \cos 4nx\, dx\ \ \ ,\ \ n=0,\, 1\, 2\, \ldots$$

$$a_0=\frac{8}{\pi}\int_0^{\pi/4} \mbox{sen}\, x \, dx=\left[-\frac{8}{\pi}\cos x\right]_0^{\pi/4}=\frac{4}{\pi}(2-\sqrt{2})$$ $$a_n=\frac{8}{\pi}\int_{0}^{\pi/4} \mbox{sen}\, x\, \cos 4nx\, dx=\frac{4}{\pi}\int_{0}^{\pi/4}[\mbox{sen}(4n+1)x-\mbox{sen}(4n-1)x]\, dx=$$ $$=\frac{4}{\pi}\left[\frac{-\cos (4n+1)x}{4n+1}+\frac{\cos (4n-1)x}{4n-1}\right]_0^{\pi/4}=$$ $$=\frac{4}{\pi}\left[\frac{-1}{4n+1}\cos \left(n\pi+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{4n-1}\cos \left(n\pi-\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{4n+1}-\frac{1}{4n-1}\right]=$$$$=\frac{4}{\pi}\left[\frac{-1}{4n+1}(-1)^n\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{4n-1}(-1)^n\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{4n+1}-\frac{1}{4n-1}\right]=$$ $$=\frac{4}{\pi}\left(\frac{-1}{4n+1}+\frac{1}{4n-1}\right)\left[(-1)^n\frac{\sqrt{2}}{2}-1\right]=\frac{4}{\pi(16n^2-1)}[\sqrt{2}(-1)^n-2]$$ con lo cual la serie buscada es $$f(x)=\frac{4}{\pi}\left[1-\frac{\sqrt{2}}{2}+\sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{2}(-1)^n-2}{16n^2-1} \cos 4nx\right]$$ La siguiente figura muestra las gráficas de las siete primeras sumas parciales de esta serie:

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Resolución del segundo apartado

Dibujamos una muestra de la extensión $\frac{\pi}{2}$-periódica impar en un periodo, por ejemplo en un intervalo que abarca tres periodos:

Para extender con simetría impar a todo el eje real la función conocida sólo en medio periodo debemos utilizar la serie de Fourier de senos. En este caso $p=\frac{\pi}{4}$ y $w=4$, luego el desarrollo en serie de cosenos de $f(x)$ y sus coeficientes es $$f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n\mbox{sen}\, 4nx\ \ ,\ \ \ b_n=\frac{8}{\pi}\int_{0}^{\pi/4} \mbox{sen}\, x\, \mbox{sen}\, 4nx\, dx\ \ \ ,\ \ n=1\, 2\, \ldots$$

$$b_n=\frac{8}{\pi}\int_{0}^{\pi/4} \mbox{sen}\, x\,\mbox{sen}\, 4nx\, dx=\frac{4}{\pi}\int_{0}^{\pi/4}[\cos(4n-1)x-\cos(4n+1)x]\, dx=$$ $$=\frac{4}{\pi}\left[\frac{\mbox{sen} (4n-1)x}{4n-1}-\frac{\mbox{sen}(4n+1)x}{4n+1}\right]_0^{\pi/4}=$$ $$=\frac{4}{\pi}\left[\frac{1}{4n-1}\mbox{sen}\, \left(n\pi-\frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{4n+1}\mbox{sen}\, \left(n\pi-\frac{\pi}{4}\right)\right]=$$$$=\frac{4}{\pi}\left[\frac{1}{4n-1}(-1)^{n+1}\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{4n+1}(-1)^{n}\frac{\sqrt{2}}{2}\right]=$$ $$=\frac{4}{\pi}(-1)^{n+1}\frac{\sqrt{2}}{2}\left[\frac{1}{4n-1}+\frac{1}{4n+1}\right]=\frac{16\sqrt{2}}{\pi}\frac{(-1)^{n+1}n}{(16n^2-1)}$$ con lo cual la serie buscada es $$f(x)=\frac{16\sqrt{2}}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}n}{(16n^2-1)} \mbox{sen}\, 4nx$$ La siguiente figura muestra las gráficas de las seis primeras sumas parciales de esta serie:

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Resolución del tercer apartado

La serie de Fourier en forma armónica puede escribirse en términos de senos o de cosenos. Puesto que en el caso que nos ocupa la serie es sólo de senos, parece más apropiado escribir su forma armónica con armónicos tipo seno. Siguiendo las fórmulas genéricas, tendremos que $$A_n=|b_n|=\frac{16\sqrt{2}}{\pi}\frac{n}{(16n^2-1)}\ ,\ \phi_n=\mbox{arctg}\frac{a_n}{b_n}=0\ \ \Rightarrow\ \ f(x)=\frac{16\sqrt{2}}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(16n^2-1)} \mbox{sen}\, 4nx$$

$$f(x)=\frac{16\sqrt{2}}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{(16n^2-1)} \mbox{sen}(4nx+(n+1)\pi)$$ Observa que esa es la expresión que obtendríamos de la serie trigonométrica si el signo de cada sumando la determinara el seno, de esta forma, cuando el coeficiente $b_n$ es negativo, hemos de sumar $\pi$ al argumento del seno (o lo que es lo mismo, un múltiplo impar de $\pi$), pero cuando el coeficiente $b_n$ es positivo, hemos de dejar el seno igual o lo que es lo mismo, sumarle un múltiplo par de $\pi$. Continuar

Resolución del cuarto apartado

Hemos de generar una función que dibuje el espectro de amplitudes, podemos seguir los siguientes pasos:

• Declaración de la función, con su nombre y argumento de entrada
• definir un vector con las frecuencias sobre las que se considerarán las amplitudes
• guardar por separado la amplitud $A_0$
• definir el vector de amplitudes
• trazar la gráfica de los puntos con el comando plot
• para dar mayor claridad, pueden fijarse que las marcas del eje horizontal sean las frecuencias utilizadas
• también para mayor claridad puede añadirse una rejilla y poner etiquetas a los ejes
• cerrar la función

Escribe la función y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.

function espectroamplitudes(m)
w=4; n=1:m; % frecuencia fundamental y vector con naturales
mw=w*n;  % vector con multiplos de la frecuencia fundamental
A0=2*(2-sqrt(2))/pi; % amplitud inicial
A=16*sqrt(2)*n./(pi*(16*n.^2-1)); % vector de amplitudes
plot([0 mw],[A0 A], 'o') % dibujo de los puntos
set(gca,'XTick',[0 mw]) % fijamos que las marcas del eje horizontal sean las frecuencias tomadas
grid on
xlabel('frecuencias nw');ylabel('amplitudes') % etiquetas para los ejes
end

espectroamplitudes(10)