Desarrollos de medio rango: series de senos y series de cosenos
Dada una función en el intervalo $[0,p]$, los desarrollos de Fourier de senos o de cosenos permiten extender a todo el eje real la función como una función $2p$-periódica, con simetría impar o par en un periodo.
EXTENSIÓN A UN PERIODO:
Dada una función acotada en $[0,p]$, podemos definir
- su extensión par a $[-p,p]$
$$f_p(x)=\left\{\begin{array}{lll}f(-x) & \mbox{si} & x\in [-p,0] \\ f(x) & \mbox{si} & x \in [0,p] \end{array}\right.$$
- su extensión impar a $[-p,p]$
$$f_i(x)=\left\{\begin{array}{lll}-f(-x) & \mbox{si} & x\in [-p,0] \\ f(x) & \mbox{si} & x\in[0,p] \end{array}\right.$$
EXTENSIÓN A TODO EL EJE REAL:
Si ahora las funciones $f_p(x)$ y $f_i(x)$ definidas antes se extienden a todo el eje real como
funciones $2p$-periódicas, sus desarrollos son:
- Desarrollo de $f(x)$ en serie de Fourier de cosenos.-
$$f_p(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos nwx\ \ , \ \ w=\frac{\pi}{p}$$
$$a_n=\frac{2}{p}\int_0^p f(x)\cos nwx\,dx\ \ ,\ \ n=0,\, 1, \,
\ldots$$
- Desarrollo de $f(x)$ en serie de Fourier de senos.-
$$f_i(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n\, \,\mbox{sen}\, nwx\ \ , \ \ w=\frac{\pi}{p}$$
$$b_n=\frac{2}{p}\int_0^p f(x)\, \,\mbox{sen}\, nwx\,dx\ \ ,\ \ n=1,\, 2, \,
\ldots$$