Halla las siguientes integrales definidas, teniendo en cuenta las simetrías de las funciones:$$I=\int_{-1}^1(4x^3-9x)\, dx\ \ ;\ \ J=\int_{-3}^3 x^{1/3}(x^2+1)^3\, dx\ \ ;$$ $$ K=\int_{-1}^1(e^x+e^{-x})\,\mbox{tg}\, x\, dx\ \ ;\ \ L=\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\frac{2x^7-x^5+2x^3-x+1}{\cos^2 x} dx$$
Paso 1
Debemos empezar comprobando la simetría del intervalo de integración y de la función subintegral. 1. ¿Es simétrico respecto del origen el intervalo de integración de cada integral? Comprúebalo y pulsa en 'Ver'.
Ver
En efecto, el intervalo de integración de cada una de las integrales propuestas está centrado en \(x=0\).
2. ¿La función subintegral es par o impar? Puedes pulsar aquí para recordar estas definiciones.
De la teoría deducimos que la función subintegral de \(I\)
es par
no es par ni impar
es impar
¡No!, míralo bien.
¡No!, míralo bien.
Claro que es impar. Podemos verlo con la definición$$f(-x)=4(-x)^3-9(-x)=-4x^3+9x=-f(x)$$o también por ser suma de funciones impares.
Analizamos ahora la simetría de la función subintegral de \(J\):
es par
no es par ni impar
es impar
¡No!, míralo bien.
¡No!, míralo bien.
Es impar. Podemos verlo con la definición,$$f(-x)=(-x)^{1/3}((-x)^2+1)^3=-x^{1/3}(x^2+1)^3=-f(x)$$o también por ser producto de una función impar por una función par.
Elige ahora la opción correcta para la simetría de la función subintegral de \(K\):
es par
no es par ni impar
es impar
¡No!, míralo bien.
¡No!, míralo bien.
Es impar. De nuevo podemos verlo con la definición$$f(-x)=(e^{-x}+e^x)\mbox{tg}\,(-x)=(e^{x}+e^{-x})(-\mbox{tg}\, x)=-(e^{-x}+e^x)\,\mbox{tg}\, x=-f(x)$$o también por ser producto de una función par por una función impar.
Elige ahora la opción correcta para la simetría de la función subintegral de \(L\):$$L=\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\frac{2x^7-x^5+2x^3-x+1}{\cos^2 x}\, dx$$
es par
es impar
no es par ni impar
¡No!, míralo bien.
¡No!, míralo bien.
En efecto, esta función no es par ni impar. Pero nos queda una opción que, de cumplirse, facilitaría el cálculo de esa integral: ¿Podemos expresar la función subintegral comosuma de una función impar más una función par? (Analízalo y pulsa en 'Continuar' cuando lo sepas).
En efecto, podemos escribir$$f(x)=\frac{2x^7-x^5+2x^3-x}{\cos^2 x} +\frac{1}{\cos^2 x}$$donde vemos que el primer sumando es una función impar y el segundo es una función par.
Paso 2
Aplicaremos ahora las propiedades de integración de una función par o impar en un intervalo centrado en \(x=0\), ver teoría
Las integrales \(I\), \(J\) y \(K\) son nulas.
Calcula la integral \(L\) y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.