Debemos empezar comprobando la periodicidad de la función subintegral. Puedes pulsar
aquí para recordar estas definiciones; después analiza la periodicidad de esas tres funciones y pincha en 'Ver' cuando termines.
Ver
La función \(f(x)=\cos x+\mbox{sen}\, x\) es periódica de período \(T=2\pi\), ya que es suma de dos funciones con ese periodo.
La función \(f(x)=\mbox{sen}^2\, x\) es periódica de período \(T=\pi\), ya que es suma de dos funciones con ese período:$$\mbox{sen}^2\, x=\frac{1}{2}+\frac{-\cos 2x}{2}$$
La función \(f(x)=\cos^2\, x\) es periódica de período \(T=\pi\), ya que es suma de dos funciones con ese período:$$\cos^2\, x=\frac{1}{2}+\frac{\cos 2x}{2}$$
Paso 2
Debemos comprobar ahora si la longitud del intervalo de integración es múltiplo del período de su función subintegral. Analízalo y pulsa en 'Ver' cuando termines.
Ver
Integral \(I\): la longitud del intervalo de integración es \(3\pi\), luego no es múltiplo del período de la función subintegral.
Integral \(J\): la longitud del intervalo de integración es \(6\pi\), luego s?? es múltiplo del período de la función subintegral.
Integral \(K\): la longitud del intervalo de integración es \(4\pi\), luego sí es múltiplo del período de la función subintegral.
Paso 3
Aplicaremos ahora en los casos en que se pueda, la propiedad de integración de una función peródica (ver teoría) y si no se puede aplicar, comprobaremos la simetría del intervalo y de la función subintegral.
Integral \(I\): puesto que la longitud del intervalo de integración no es múltiplo del período de la función subintegral, podemos analizar simetrías. Hazlo tú y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
Ver
La función \(f(x)=\cos x+\mbox{sen}\, x\) es suma de una función par más una función impar. El intervalo de integración está centrado en \(x=0\). Se verifica$$I=\int_{-3\pi/2}^{3\pi/2}(\cos x+\mbox{sen}\, x)\, dx=2\int_0^{3\pi/2} \cos x \, dx +\int_{-3\pi/2}^{3\pi/2}\mbox{sen}\, x\, dx=2[\mbox{sen}\, x]_0^{3\pi/2}+0=2\cdot(-1)=-2$$
Integral \(J\): en este caso sí se puede aplicar la propiedad de integración de una función periódica, lo que simplifica el cálculo. Halla esa integral y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
Integral \(K\): en este caso sí se puede aplicar la propiedad de integración de una función periódica, lo que simplifica el cálculo. Halla esa integral y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.