Demuestra que el vector de posición y el vector tangente en cada punto de la curva forman entre sí el mismo ángulo a para cualquier valor de q. Expresa el ángulo a en función de m.
Demuestra que el área acotada por la curva y dos rayos q = q1 y q = q2 es proporcional a r22 - r12, donde [r1,q1] y [r2,q2] son las coordenadas polares de los extremos del arco de la curva entre estos dos rayos. Halla el factor de proporcionalidad (en función de a)
Solución del Apartado 1
Paso 1
Para demostrar esto debemos (elige la que te parezca correcta):
Trabajar con\(\ \ \rho'(\theta)=\frac{d\rho}{d\theta}(\theta) \) y mirar si es la misma para cualquier q.
Encontrar los vectores implicados y multiplicarlos escalarmente.
¡No!, estamos trabajando con una ecuación polar, la derivada de r no es la pendiente de la recta tangente.
En efecto, debemos empezar encontrando el vector de posición del punto correspondiente a cada q y el vector tangente a la curva en ese punto, para luego multiplicarlos escalarmente y así calcular el ángulo que forman.
Paso 2
¿Cómo calculamos el vector de posición del punto de la curva? Es decir, ¿cuáles son las coordenadas x e y correspondientes a ese punto en polares? Piénsalo y cuando lo tengas pulsa en 'Ver'
Ver
Las coordenadas cartesianas son$$\left\{\begin{array}{l}x=\rho \, \cos\theta=e^{\frac{m\theta}{p}}\cos\theta\\ y=\rho \,\sin \theta=e^{\frac{m\theta}{p}}\sin\theta\end{array}\right.$$
Luego el vector de posición es$$ {\bf r}(\theta)=(\rho\, \cos\theta, \rho\, \sin \theta)=(e^{\frac{m\theta}{p}}\cos\theta, e^{\frac{m\theta}{p}}\sin\theta) $$ y el vector tangente es:
¡No! Ya que r es función de q: ¡Derivada de un producto!
¡Sí! esto es lo correcto
Paso 3
Para calcular el ángulo a que forma el vector de posición con el tangente se hará su producto escalar, para obtener el coseno de ese ángulo. Este producto escalar tiene la expresión $${\bf r}(\theta)\cdot{\bf r}'(\theta)=|{\bf r}(\theta)||{\bf r}'(\theta)|\, \cos\alpha$$El miembro de la izquierda es $${\bf r}(\theta)\cdot{\bf r}'(\theta)=-\rho^2\sin\theta\, \cos\theta+\rho\rho'\cos^2\theta+\rho^2\sin\theta\, \cos\theta+\rho\rho'\sin^2\theta=\rho\rho'$$y el de la derecha $$|{\bf r}(\theta)||{\bf r} '(\theta)|\, \cos\alpha=\rho\sqrt{\rho^2+\rho'^2}\cos\alpha$$luego el coseno del ángulo a y a en función de m son (calcúlalo y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas)
Ver
En efecto,$$\cos\alpha=\frac{\rho\rho'}{\rho\sqrt{\rho^2+\rho'^2}}=\frac{\rho'}{\sqrt{\rho^2+\rho'^2}}\stackrel{(\rho=e^{\frac{m\theta}{p}})}{=}\frac{m e^{\frac{m\theta}{p}}}{\sqrt{p^2+m^2}e^{\frac{m\theta}{p}}}\stackrel{(p=\sqrt{1-m^2})}{=}m \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \alpha= \arccos m$$En la figura se representa un arco de la curva correspondiente a m = 1/2, es decir de la curva \(\rho(\theta)=e^{\frac{\theta}{\sqrt{3}}}\) lo que como hemos demostrado, significa que el radio vector forma con la dirección tangente un ángulo a =p/3 independientemente del punto en que nos situemos.
Solución del Apartado 2
Paso 1
En este caso, el área pedida viene dada por la integral definida (ver Teoría)
$$\text{Área}=\frac{1}{2} \, \int_{\theta_1}^{\theta_2}\ e^{\frac{2m\theta}{p}} \ d\theta$$Resolviendo esta integral, tenemos (hazlo tú y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas)
Ver
Paso 2
El área es$$\text{Área}=\frac{p}{4m}\left [e^{\frac{2m\theta_2}{p}} -e^{\frac{2m\theta_1}{p}}\right ]=\frac{p}{4m}\left [\rho_2^2 -\rho_1^2 \right ]$$lo que significa que el factor de proporcionalidad buscado es$$\frac{p}{4m}=\frac{\sqrt{\, 1-m^2}}{4m}\stackrel{(\cos \alpha=m)}{=}\frac{1}{4}\, \text{tg}\, \alpha$$
Por ejemplo, para a =p/3, el área encerrada por la curva y los radios vectores de los puntos [r1,q1] y [r2,q2] es siempre de la forma$$\text{Área}=\frac{\sqrt{3}}{4}\left [\rho_2^2 -\rho_1^2 \right ]$$
Resumen
Apartado 1: comprobar ángulo entre vectores
Encontrar las ecuaciones paramétricas de la curva
Calcular los vectores de posición y tangente
Hacer su producto escalar para obtener el coseno del ángulo que forman
Apartado 2: hallar área encerrada entre dos radios vectores y un arco
Recordar la fórmula integral
Evaluar la integral y escribir el factor de proporcionalidad en función de a.
En efecto,$$\cos\alpha=\frac{\rho\rho'}{\rho\sqrt{\rho^2+\rho'^2}}=\frac{\rho'}{\sqrt{\rho^2+\rho'^2}}\stackrel{(\rho=e^{\frac{m\theta}{p}})}{=}\frac{m e^{\frac{m\theta}{p}}}{\sqrt{p^2+m^2}e^{\frac{m\theta}{p}}}\stackrel{(p=\sqrt{1-m^2})}{=}m \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ \ \ \alpha= \arccos m$$En la figura se representa un arco de la curva correspondiente a m = 1/2, es decir de la curva \(\rho(\theta)=e^{\frac{\theta}{\sqrt{3}}}\) lo que como hemos demostrado, significa que el radio vector forma con la dirección tangente un ángulo a =p/3 independientemente del punto en que nos situemos.