Área plana encerrada entre dos curvas

Paso 1

Antes de hacer ningún cálculo, ¿cómo te parece que será más sencillo?

Trabajando en coordenadas cartesianas

Trabajando en coordenadas polares

Se puede hacer en coordenas cartesianas, pero se gana mucho utilizando polares.

En efecto, las coordenadas polares son más apropiadas para este cálculo.

Paso 2

Debemos por tanto escribir en polares las ecuaciones de las curvas que limitan la región. Pásalas y cuando las tengas pulsa en 'Ver'.

Ver

Las ecuaciones polares de estas curvas son

$$x^2+y^2\leq 9 \ \ \Rightarrow \ \ r^2=9 \ \ \Rightarrow \ \ r=3$$
$$(x-3)^2+y^2\leq 9 \ \ \Rightarrow \ \ x^2+y^2=6x \ \ \Rightarrow \ \ r^2=6r\cos \theta\ \ \Rightarrow \ \ r=6\cos \theta$$

Paso 3

Para determinar la región limitada entre ellas, calculamos los valores de $\theta$ de los puntos donde se cortan (elige el botón que contenga los correctos):

$\theta=\pi/6$

$ \theta=-\pi/6 \ \mbox{y} \ \theta=\pi/6$

$ \theta=\pi/3$

$ \theta=-\pi/3 \ \mbox{y} \ \theta=\pi/3$

¡No!, debes repasar las cuentas

No vas del todo mal, pero falta algo

¡Sí! esto es lo correcto, ya que al hacer $6\cos \theta =3$ se obtiene$$\theta =\mbox{arccos}\, \frac{1}{2}=\left\{\begin{array}{l} -\pi/3 \\ \pi/3 \end{array}\right.$$ Gráfica

Paso 4

Este ejercicio se simplifica si observamos la simetría de la región cuyo área estamos calculando. Según tú la simetría a considerar aquí es:

Quela región es simétrica respecto de $\hspace{1cm} \theta=\pi/3$

Que la región es simétrica respecto de $\hspace{1cm} x=3/2$

Que la región es simétrica respecto de $\hspace{1cm} y=0$

No, no hay simetría respecto de esa recta. Míralo de nuevo.

Sí, es cierto que existe esa simetría, pero no es útil trabajando en polares.

En efecto se da esa simetría, con lo cual, si $A_1$ es el área de la parte de la región en $y$ positivo$$\text{área}=2A_1$$ Gráfica

Paso 5

Entonces, teniendo en cuenta la fórmula integral que da el área encerrada por una curva en polares (ver Teoría), la integral para calcular el área $A_1$ es (elige la opción correcta)

$$\hspace{0.5cm} \int_0^{\pi/2} \frac{9}{2} \, d\theta$$

$$\hspace{0.5cm} \int_0^{\pi/3} \frac{9}{2} \, d\theta$$

Ninguna de las dos propuestas.

¡No!, mira de nuevo la región: la circunferencia $r=3$ no cierra toda la región.

¡No!, te falta un trozo de región: de $\theta=\pi/3$ a \(\theta=\pi/2\ también hay región.

En efecto, ninguna de las dos integrales propuestas da el área $A_1$.
Debemos descomponer la región en dos trozos: Gráfica

de $\theta=0$ a $\theta=\pi/3$:$$B_1=\int_0^{\pi/3} \frac{9}{2}\, d\theta$$
de $\theta=\pi/3$ a $\theta=\pi/2$:$$B_2=\int_{\pi/3}^{\pi/2} \frac{(6\cos\theta)^2}{2}\, d\theta$$

Paso 6

El siguiente paso es calcular $B_1$ y $B_2$. Hazlo tú y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas:

Ver

$B_1$ no necesita mucho cálculo y para $B_2$ recurrimos a escribir el cuadrado del cosenoen función del coseno del ángulo doble:$$B_2=18\int_{\pi/3}^{\pi/2} \cos^2\theta \, d\theta=9\int_{\pi/3}^{\pi/2} (1+\cos 2\theta)\, d\theta=9\left[\theta+\frac{1}{2}\mbox{sen}\, 2\theta \right]_{\pi/3}^{\pi/2}=9\left[\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right]$$Con todo esto, el área total pedida en el ejercicio será$$\text{área}=2\left(\frac{9}{2}\cdot\frac{\pi}{3}+9\frac{\pi}{6}-9\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=6\pi-9\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Resumen

Seleccionar las coordenadas en las que se va a trabajar: las polares.
Pasar a polares las ecuaciones de las curvas que limitan la región.
Encontrar los puntos de corte entre las curvas.
Analizar la posible simetría de la región y su utilidad en el cálculo.
Plantear las correspondientes integrales.
Resolver las integrales.

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Enunciado

Halla el área común a los círculos \(x^2+y^2\leq 9\) y \((x-3)^2+y^2\leq 9\).