Calcula el área encerrada por la elipse que en coordenadas paramétricas viene dada por: $$x=a\, \cos t\ \ ,\ \ y=b\ \mbox{sen}\, t$$
Paso 1
Debemos empezar analizando cuál es el intervalo de variación del parámetro \(t\) para que las coordenadas \(x\) e \(y\) recorran todos los puntos de la elipse una y sólo una vez. Busca ese intervalo y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
Ver
El intervalo de parámetros debe tener longitud \(2\pi\). Lo más habitual es tomar \([0,2\pi]\) o \([-\pi,\pi]\). Aquí trabajaremos con \([0,2\pi]\).
Paso 2
Por tanto, teniendo en cuenta la teoría, el área es:
$$\text{área}=\int_{0}^{2\pi} b\,\mbox{sen}\, t (-a\,\mbox{sen}\, t)\, dt=-ab\int_{0}^{2\pi} \mbox{sen}^2 t\, dt$$
$$\text{área}=\int_{0}^{2\pi} |a\,\cos\, t \cdot b\cos\, t)|\, dt=ab\int_{0}^{2\pi} \cos^2 t\, dt$$
$$\text{área}=\int_{0}^{2\pi} |b\,\mbox{sen}\, t (-a\,\mbox{sen}\, t)|\, dt=ab\int_{0}^{2\pi} \mbox{sen}^2 t\, dt$$
Las dos opciones con valores absolutos en el integrando son mejores}, en este caso da lo mismo hacer el área entre la curva y el eje 0X que el área entre la curva y el eje 0Y.
¡No!; debes poner el integrando en valor absoluto.
Está mejor que la de sin valores absolutos, pero no es del todo correcta, pues no conocemos los signos de \(a\) y \(b\). Lo correcto sería$$\text{área}=\int_{0}^{2\pi} |a\,\cos\, t \cdot b\cos\, t)|\, dt=|ab|\int_{0}^{2\pi} cos^2 t\, dt$$Hay otra opción más correcta.
Está mejor que la de sin valores absolutos, pero no es del todo correcta, pues no conocemos los signos de \(a\) y \(b\). Lo correcto sería$$\text{área}=\int_{0}^{2\pi} |b\,\mbox{sen}\, t (-a\,\mbox{sen}\, t)|\, dt=|ab|\int_{0}^{2\pi} \mbox{sen}^2 t\, dt$$Hay otra opción más correcta.
En efecto, las dos opciones con valores absolutos tienen su primera fórmula correcta, pero en la segunda igualdad deben añadirse valores absolutos en el producto \(ab\), pues no son conocidos los signos de \(a\) y \(b\). Lo correcto sería$$\text{área}=\int_{0}^{2\pi} |b\,\mbox{sen}\, t (-a\,\mbox{sen}\, t)|\, dt=|ab|\int_{0}^{2\pi} \mbox{sen}^2 t\, dt$$ o bien$$\text{área}=\int_{0}^{2\pi} |a\,\cos\, t \cdot b\cos\, t)|\, dt=|ab|\int_{0}^{2\pi} \cos^2 t\, dt$$
Paso 3
Sólo falta hallar el valor de una de esas dos integrales. Hállalo tú y pulsa en 'Ver'.