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Enunciado

Sea \(C\) la curva intersección entre la esfera $$x^2+y^2+z^2=a^2$$ y el plano $$x+y+z=0$$ (tomar la constante \(a\) positiva). Calcula la integral de línea $$I=\oint_C \ y\, dx+z\, dy+x\, dz$$

Paso 1

Puesto que se trata de una integral de línea a lo largo de una curva cerrada, podemos intentar utilizar el teorema de Stokes ya que, siendo el campo

$$\mathbf{F}=y\,\mathbf{i}+z\,\mathbf{j}+x\,\mathbf{k}$$ se tendrá

$$\mathbf{rot}\ \mathbf{F}=-(\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k})$$ que es bastante simple, de hecho es constante. Debemos ahora elegir una superficie cuya frontera sea la curva \(C\):

\(S\): la semiesfera superior al plano
\(S\): la semiesfera inferior al plano
\(S\): la porción de plano recortada por la esfera en el plano
Posible, pero en principio parece más complicado que la porción de plano
Posible, pero en principio parece más complicado que la porción de plano
Parece una buena opción tomar el disco: $$S: \ \ z=f(x,y)=-x-y\ \ \ , \ \ \ \ (x,y)\in R=\mbox{proyección de}\ S\ \mbox{en el plano XY}$$ El teorema de Stokes implica entonces que $$I=\oint_C\, y\, dx+z\, dy+x\, dz= \int\!\!\int_S \, \mathbf{rot}\, \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\, dS \ \ \ ,\ \ \ S=\text{disco recortado en}\ \ x+y+z=0 \ \ \text{por}\ \ x^2+y^2+z^2=a^2$$ Gráfica

Paso 2

Ahora hay que calcular esa integral de flujo. Para ello se nos presentan dos opciones,
  1. utilizar la expresión simplificada de la integral de campo vectorial sobre una superficie dada en explícitas
  2. sustituir directamente la expresión del vector normal unitario, n
Efectuaremos primero el cálculo con el primer método. Plantea la integral utilizando la primera opción y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
Ver
Encontramos las derivadas correspondientes $$z=f(x,y)=-x-y\ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ f_x=-1 \ ,\ f_y=-1$$ y puesto que $$\mathbf{n}\, dS=\mathbf{N}\, dA=(-f_x\, \mathbf{i}-f_y\, \mathbf{j}+\mathbf{k})\, dA$$ la integral \(I\) es la siguiente integral doble $$I=\int\!\!\int_S\, \mathbf{rot}\ \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\, dS= -\int\!\!\int_R\, (\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k})\underbrace{(-f_x\, \mathbf{i}-f_y\, \mathbf{j}+\mathbf{k})}_{(\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k})}\, dA=-3\int\!\!\int_R dA=-3\, \mbox{área}(R)$$

Paso 3 (primer método)

Sólo falta evaluar esa última integral doble. Sabemos que $$I=-3\int\!\!\int_R dA=-3\, \mbox{área}(R)$$ así que necesitamos el área de \(R\), que
es el área de un círculo
no es el área de un círculo
Míralo bien
En efecto, \(R\) no es un círculo. Para encontrar qué es, hemos de intersecar la esfera con el plano $$\left.\begin{array}{c}x^2+y^2+z^2=a^2 \\ x+y+z=0 \end{array}\right\} \ \ \ \rightarrow \ \ \ x^2+y^2+(x+y)^2=a^2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x^2+y^2+xy=\frac{a^2}{2}$$ La región \(R\) es la encerrada en el plano XY por esta última curva.
¿Puedes ahora hallar el área de \(R\)? Inténtalo y pulsa en 'Ver'
Ver
Hemos de expresar la curva que la limita mediante dos ecuaciones explícitas: $$x^2+y^2+xy=\frac{a^2}{2}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ x^2+yx+y^2-\frac{a^2}{2}=0\ \ \ \Rightarrow\ \ \ x=\frac{-y}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{2a^2-3y^2}$$ y para encontrar el dominio de estas funciones imponemos que el radicando sea no negativo, con lo cual, $$2a^2-3y^2\geq 0 \ \ \ \Rightarrow\ \ \ 3y^2\leq 2a^2\ \ \ \Rightarrow\ \ \ -\sqrt{\frac{2}{3}a} \leq y \leq \sqrt{\frac{2}{3}a}$$ De esta forma la expresión de la región \(R\) como conjunto x-simple o y-simple es... Escríbela y pulsa en 'Continuar' cuando lo tengas.
$$R=\{(x,y) / -\sqrt{\frac{2}{3}}a \leq y \leq \sqrt{\frac{2}{3}}a,\, -\frac{y}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{2a^2-3y^2}\leq x\leq -\frac{y}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2a^2-3y^2}\}$$

Paso 4 (primer método)

Halla ahora el área de \(R\) y la integral \(I\) teniendo en cuenta la simetría del integrando y haciendo el cambio de variable $$y=\sqrt{2/3}a\,\mbox{sen}\, t$$ Pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
Ver
Por la simetría par, $$I=-3\int_{-\sqrt{2/3}a}^{\sqrt{2/3}a}\, \sqrt{2a^2-3y^2}\, dy=-6\int_0^{\sqrt{2/3}a}\, \sqrt{2a^2-3y^2}\, dy$$ con el cambio de variable, $$I=-6\int_0^{\sqrt{2/3}a}\, \sqrt{2a^2-3y^2}\, dy\stackrel{y=\sqrt{2/3}a\mbox{sen} t}{=}-2\sqrt{3}a^2\left[t+\frac{1}{2}\mbox{sen} 2t\right]_0^{\pi/2}=-\sqrt{3}a^2\pi$$

Resumen (primer método)

  1. Comprobar que es posible y conveniente aplicar el teorema de Stokes y escribir la expresión de la superficie elegida.
  2. Utilizar la expresión simplificada de la integral de un campo vectorial sobre una superficie dada en explícitas para transformar la integral de flujo en una integral doble sobre la proyección.
  3. Escribir la proyección como un conjunto x-simple o y-simple.
  4. Resolver las integrales iteradas.
Veamos ahora cómo se lleva a cabo la integral de flujo $$I=\int\!\!\int_S \, \mathbf{rot}\, \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\, dS \ \ \ ,\ \ \ S=\text{disco recortado en}\ \ x+y+z=0 \ \ \text{por}\ \ x^2+y^2+z^2=a^2$$ si usamos directamente la expresión del vector normal unitario a la superficie \(S\).

Paso 2 (segundo método)

Debemos calcular el vector normal unitario, que es
$$\mathbf{n}=-\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}$$
$$\mathbf{n}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}$$
$$\mathbf{n}=\frac{-\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}}{\sqrt 3}$$
$$\mathbf{n}=\frac{\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}}{\sqrt 3}$$
Ese ni siquiera es normal a la superficie. Míralo bien
Ese es normal, pero no unitario.
Ese es normal y unitario, pero no tiene el sentido adecuado.
En efecto, la normal elegida debe apuntar hacia arriba, debido a la orientación de la curva: $$\mathbf{n}=\frac{-f_x\mathbf{i}-f_y\mathbf{j}+\mathbf{k}}{\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}}=\frac{\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}}{\sqrt 3}$$

Paso 3 (segundo método)

Con este vector normal la integral buscada es $$I=\int\!\!\int_S\, -(\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k})\,\frac{\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}}{\sqrt 3}\, dS=-\sqrt{3}\int\!\!\int_S\, dS=-\sqrt{3}\,\mbox{área}(S)$$ Esto es, la integral nos queda en función del área superficial de \(S\), que ...
no es un círculo
es un círculo
Míralo bien
Sí, \(S\) es un círculo de radio \(a\). Esto está asegurado porque el plano, en el que está contenida la superficie \(S\), pasa por el centro de la esfera. Por tanto, $$\mbox{área}(S)=\pi a^2$$ y por tanto $$I=-\sqrt{3} \pi a^2$$

Resumen (segundo método)

  1. Comprobar que es posible y conveniente aplicar el teorema de Stokes y escribir la expresión de la superficie elegida.
  2. Encontrar el vector normal a la superficie.
  3. Sustituir en el integrando y evaluar el producto escalar del rotacional con ese vector normal y observar que no es necesario resolver como integral de superficie de un campo escalar pues queda precisamente el área de un disco.