Flujo de un campo vectorial a través de una superficie

Sea \(S\) la supeficie suave de dos caras dada por $$ z=f(x,y) \ \ \ \ , \ \ \ \ (x,y)\in R$$ y sean \({\bf N}\) la normal y \({\bf n}\) la normal unitaria, ambas hacia arriba de \(S\): $${\bf N}=-f'_x\, {\bf i}-f'_y\, {\bf j}+ {\bf k} \ \ \ ,\ \ \ {\bf n}=\frac{{\bf N}}{|{\bf N}|}$$ Si \(f\) es de clase \(C^1\) y $$F(x,y,z)=M(x,y,z)\, {\bf i}+N(x,y,z)\, {\bf j}+P(x,y,z)\, {\bf k}$$ es un campo vectorial continuo, entonces $$\mbox{Flujo de } \mathbf{F}\ \mbox{ a través de S}= \int\!\!\int_S {\bf F}\cdot {\bf n}\, dS= \int\!\!\int_R {\bf F}\cdot {\bf N}\, dA$$ Puede ser útil también la fórmula que se obtiene haciendo el producto escalar: $$\mbox{Flujo de } \mathbf{F}\ \mbox{ a través de S}= \int\!\!\int_R \ (-M \, f_x-N\, f_y+P)\, dA$$