Encuentra la solución general de la ecuación lineal de segundo orden
$$y''+9y=\mbox{sen}^4 x$$
utilizando el método de coeficientes indeterminados.
Resolución
La solución general de una ecuación no homogénea como la del enunciado es la suma de la solución general de la homogénea asociada y una particular de la completa.
Proponer la forma de la solución $y_p(x)$. Teniendo en cuenta que en este caso el término independiente $g(x)$ es $$g(x)=\mbox{sen}^4 x$$ se propone
$y_p(x)=A_0\cos 3x+A_1\,\mbox{sen} \, 3x$
$y_p(x)=(A_0\cos x+A_1\,\mbox{sen} \, x)^4$
$y_p$ será el producto de cuatro funciones de la forma $A_0\cos x+A_1\,\mbox{sen} \, x$, (con cuatro valores diferentes de $A_0$ y cuatro de $A_1$)
Ninguna de las opciones presentadas es la adecuada.
Esa sería solución de la homogénea; al sustituirla en $y''+9y$ saldría cero. No vale por tanto como solución de la completa.
No es correcto, en la tabla de la teoría no hay funciones $g(x)$ que sean potencias de funciones del tipo $a_0\cos kx+a_1\,\mbox{sen} \, kx$
Mira a ver si se puede resolver de otra forma, esa propuesta traerá un trabajo tan excesivo que merece la pena buscar otro método.
En efecto. Como siempre que tenemos una potencia de una función trogonométrica, es buena idea analizar su linealización, es decir, escribirla como combinación de funciones trigonométricas sin potencias. Utiliza la expresión del seno cuadrado en función del coseno del ángulo doble para hacerlo y pulsa en 'Continuar'.
$$\mbox{sen}^4 x=\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)^2=\frac{1}{4}(1-2\cos 2x+\cos^2 2x)=$$
$$=\frac{1}{4}\left(1-2\cos 2x+\frac{1+\cos 4x}{2}\right)=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{8}\cos 4x$$
Luego en este caso, la función $g(x)$ término independiente es
$$g(x)=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{8}\cos 4x$$
Por tanto la forma de solución particular que le corresponde es
Las dos $y_p(x)$ propuestas son correctas, pero es más conveniente la que sólo tiene cosenos.
Es correcta, pero vas a trabajar de más.
Es correcta, pues en la ecuación diferencial sólo hay derivadas de la misma paridad (cero y segunda: al derivar senos saldrán senos) y en la función $g(x)$ no hay términos en seno. Pero también la otra propuesta de $y_p(x)$ es correcta, así que debes elegir otra opción.
Sí hay opciones correctas.
En efecto, las dos $y_p(x)$ propuestas son correctas. La que sólo tiene cosenos utiliza que en la ecuación diferencial sólo hay derivadas de la misma paridad (cero y segunda: al derivar senos saldrán senos) y que en la función $g(x)$ no hay términos en seno.
Paso 2.2
Debemos calcular los coeficientes de
$$y_p(x)=A_0+A_1\cos 2x+A_3\cos 4x$$
para que sea solución de la ecuación
$$y''+9y=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{8}\cos 4x$$
Derivando $y_p$ y sustituyendo en la ecuación se llega a la expresión... Pulsa en 'Ver' cuando
lo tengas.
Ver
$$4A_1\cos 2x-16A_2\cos 4x+9A_0+9A_1\cos 2x+9A_2\cos 4x=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{8}\cos 4x$$
o bien
$$9A_0+5A_1\cos 2x-7A_2\cos 4x=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{8}\cos 4x$$
lo que significa que
$$\left\{\begin{array}{l} 9A_0=\frac{3}{8} \\ 5A_1=-\frac{1}{2} \\ -7A_2=\frac{1}{8} \end{array}\right.$$
de donde $$A_0=\frac{1}{24} \hspace{.3cm} , \hspace{.3cm} A_1=-\frac{1}{10}
\hspace{.3cm} , \hspace{.3cm} A_2=-\frac{1}{56}$$
Así pues una solución particular de la ecuación completa será
$$y_p(x)=\frac{1}{24}-\frac{1}{10}\cos 2x-\frac{1}{56} \cos 4x$$
y por tanto como expresión de la solución general de la completa podemos tomar
$$y(x)=C_1\cos 3x+C_2\,\mbox{sen}\, 3x+\frac{1}{24}-\frac{1}{10}\cos 2x-\frac{1}{56} \cos 4x$$