Método de coeficientes indeterminados

El método de coeficientes indeterminados permite calcular una solución particular de una ecuación lineal de segundo orden no homogénea (ecuación completa) de coeficientes constantes: $$y''(x)+py'(x)+qy(x)=g(x)$$

• Se basa en preparar una solución inspirada en la forma de la función $g(x)$. Sólo nos servirá para ciertos tipos de funciones $g(x)$, así que su uso es mucho más limitado que el del método de variación de constantes; sin embargo, en los casos en que sí pueda aplicarse, facilita la resolución pues no requiere cálculo de primitivas. En la siguiente tabla se recogen las funciones $g(x)$ y las funciones $y_p(x)$ que les corresponden:

  $$g(x)$$	$$y_p(x)$$
  $$a_0+a_1x+\ldots+a_mx^m$$	$$x^s(A_0+A_1x+\ldots+A_mx^m)$$
  $$a_0\cos kx+a_1\,\mbox{sen} \, kx$$	$$x^s(A_0\cos kx+A_1\,\mbox{sen} \, kx)$$
  $$a_0e^{kx}$$	$$A_0x^se^{kx}$$

  El número $s$ se elige como el menor entero tal que ningún sumando de la solución particular sea solución de la ecuación homogénea asociada. Si la función $g(x)$ fuera producto de varias de las que figuran en la tabla, también la solución particular se propondría como el producto de la que correspondan a cada factor de $g(x)$.
• Una vez que se ha escrito la forma de la solución $y_p$ se deriva dos veces y se sustituye en la ecuación. Eso generará un sistema de ecuaciones algebraico en los coeficientes de $y_p$.