Solución general de una e.d.o segundo orden lineal homogénea coeficientes constantes

La forma general de las ecuaciones de este tipo es $$y''(x)+py'(x)+qy(x)=0$$ Cada una de estas ecuaciones lleva asociada la ecuación algebraica $$r^2+pr+q=0$$ que se llama ecuación característica. Conociendo las raíces de esta ecuación algebraica podemos formar la solución general de la ecuación diferencial correspondiente. Según que $p^2-4q$ sea positivo, nulo o negativo, la ecuación característica tiene

1. dos raíces $r_1$ y $r_2$ reales diferentes: el sistema fundamental de soluciones es $$y_1(x)=e^{r_1x}\ \ ,\ \ y_2(x)=e^{r_2x}$$ y la solución general será $$y(x)=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$$
2. una única raíz real doble, $r$ : el sistema fundamental de soluciones es $$y_1(x)=e^{rx}\ \ ,\ \ y_2(x)=xe^{rx}$$ y la solución general será $$y(x)=e^{rx}(C_1+C_2x)$$
3. dos raíces $r_1=a+bi$ y $r_2=a-bi$ complejas conjugadas: el sistema fundamental de soluciones es $$y_1(x)=e^{ax}\cos bx\ \ ,\ \ y_2(x)=e^{ax}\,\mbox{sen}\, bx$$ y la solución general será $$y(x)=e^{ax}(C_1\cos bx+C_2\,\mbox{sen}\, bx)$$