Resolución del primer apartado

Una de las interpretaciones de la integral de un campo vectorial sobre una curva es como circulación de un fluido alrededor de una curva: $$\mbox{circulación}=\oint_{C_a} {\bf V}\cdot d{\bf r}$$ Esta circulación es positiva si la tendencia del fluido es a girar en el sentido positivo de la curva (antihorario); en este caso observamos que los vectores velocidad ayudarían al movimiento en algunos puntos pero en otros actúan en contra de ese giro; por tanto no se puede conjeturar si la circulación es positiva o es negativa. Para hallarla $\ldots$

$$N'_x-M'_y=\frac{xy^2}{a^4}$$ esto es, una función mucho más simple que la $M$ y la $N$. Veamos que se cumplen las condiciones del teorema de Green. Compruébalas, escribe la región encerrada por $C_a$ utilizando coordenadas polares y pulsa en 'Ver'.

Según la tesis del teorema de Green, $$\mbox{circulación}=\oint_{C_a} {\bf V}\cdot d{\bf r}=\int\!\!\int _{S_a} (N'_x-M'_y)\, dA$$ así que escrita en polares, la integral anterior es

$$\mbox{circulación}=\frac{2}{5a^4}(a^5-32)\int_0^{\pi/2} \cos^6\theta\, \mbox{sen}^2\,\theta\, d\theta$$ La integral trigonométrica $$\int \cos^6\theta\, \mbox{sen}^2\,\theta\, d\theta $$ se transforma en la racional $$\int \frac{t^2}{(1+t^2)^5}\, dt$$ con el cambio de variable $\mbox{tg}\, \theta=t$. La racional puede resolverse, por ejemplo con el método de Hermite. Si nos queremos ahorrar estas cuentas, podemos hacer la integral trigonométrica en el ordenador:

syms u
int((cos(u))^6*(sin(u))^2,u,0,pi/2)

que nos da $$\int_0^{\pi/2} \cos^6\theta\, \mbox{sen}^2\,\theta\, d\theta=\frac{5}{256}\pi$$ con lo cual $$\mbox{circulación}=\frac{2}{5a^4}(a^5-32)\frac{5}{256}\pi= \frac{\pi}{128}\frac{a^5-32}{a^4}$$ que es un número positivo para cualquier $a>2$.
Continuar

Resolución del segundo apartado

Para dibujar la curva en el ordenador y una muestra de vectores, utilizaremos para $C_a$ las ecuaciones paramétricas $$x(t)=2\cos^2 t ,\hspace{.3cm} y(t)=2\cos t\,\mbox{sen}\, t ,\hspace{.3cm} t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$$ para la circunferencia interior y $$x(t)=a\cos^2 t ,\hspace{.3cm} y(t)=a\cos t\,\mbox{sen}\, t ,\hspace{.3cm} t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$$ para la exterior. En el fichero curvaycampo.m preparamos la función, siguiendo los pasos que se presentan a continuación; en cada uno, pulsa en 'Continuar' cuando lo hayas hecho.

• Declara la función con sus variables de entrada.

Continuar

function curvaycampo(a,m)

• define un vector de parámetros para dibujar cada circunferencia

Continuar

t=-pi/2:pi/50:pi/2; % vector de parámetros

• define las coordenadas de la circunferencia interior; dibújala

Continuar

R=2*cos(t); x=R.*cos(t); y=R.*sin(t); % circunferencia interior
plot(x,y) % trazado de la circunferencia interior

• repite para la circunferencia exterior y fija igual escala en ambos ejes

Continuar

hold on
R=a*cos(t); x=R.*cos(t); y=R.*sin(t); % circunferencia exterior
plot(x,y)
axis equal

• Comenzamos con el trazado de vectores del campo; define un vector de parámetros de m componentes entre $\frac{-\pi}{2}$ y $\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{m}$ (esto lo hacemos así porque el punto de las curvas correspondiente a $\frac{-\pi}{2}$ y a $\frac{\pi}{2}$ es el mismo);

Continuar

 tv=linspace(-pi/2,pi/2-pi/m,m) ;

• define las coordenadas correspondientes a esos parámetros para la circunferencia interior y dibuja con quiver los correspondientes vectores

Continuar

R=2*cos(tv);x=R.*cos(tv); y=R.*sin(tv); % circunferencia interior
quiver(x,y,sin(x.^2)-cos(y),x.*sin(y)+x.^2.*y.^2/(2*a^4),0) % vectores del campo sobre la circ. interior

• repite para la circunferencia exterior; puedes fijar que los dibuje en rojo; cierra la función

Continuar

R=a*cos(tv); x=R.*cos(tv); y=R.*sin(tv); % circunferencia interior
quiver(x,y,sin(x.^2)-cos(y),x.*sin(y)+x.^2.*y.^2/(2*a^4),0,'r')
hold off
end

Con esto, nuestro fichero tendrá las siguientes líneas, a las que habría que añadir, despues de la línea de definición de la función, unas líneas de comentario sobre lo que hace esta función:

function curvaycampo(a,m)
% .... lineas explicativas de lo que hace la función
% %%%%%%% trazado de la curva
t=-pi/2:pi/50:pi/2; % vector de parámetros
R=2*cos(t); x=R.*cos(t); y=R.*sin(t); % circunferencia interior
plot(x,y)
hold on
R=a*cos(t); x=R.*cos(t); y=R.*sin(t); % circunferencia exterior
plot(x,y)
axis equal
% %%%%%%% muestra del campo vectorial
tv=linspace(-pi/2,pi/2-pi/m,m) ; % vector de valores del parámetro
R=2*cos(tv);x=R.*cos(tv); y=R.*sin(tv); % circunferencia interior
quiver(x,y,sin(x.^2)-cos(y),x.*sin(y)+x.^2.*y.^2/(2*a^4),0) % vectores del campo sobre la circ. interior
R=a*cos(tv); x=R.*cos(tv); y=R.*sin(tv); % circunferencia interior
quiver(x,y,sin(x.^2)-cos(y),x.*sin(y)+x.^2.*y.^2/(2*a^4),0,'r')
hold off
end

Continuar

Resolución del tercer apartado

La velocidad media en los puntos de la curva se obtiene como el cociente entre la integral del campo de velocidades a lo largo de la curva (la circulación que acabas de calcular) y la longitud de la curva. La longitud de la curva $C_a$ la calculamos como suma de las longitudes de dos circunferencias: $$\mbox{longitud}(C_a)=(2+a)\pi$$ y por tanto la velocidad media es $$v_m(a)=\frac{a^5-32}{128a^4(2+a)}$$ que tiende a parecerse $\frac{1}{128}=0.0078$ cuando vamos tomando valores crecientes de $a$.

Escribe las órdenes necesarias para dibujar la gráfica de $v_m(a)$ para $a$ entre 2 y 10. Pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.

a=linspace(2,10,50);
plot(a,(a.^5-32)./(128*a.^4.*(a+2)))
xlabel('a');ylabel('v_m(a)')

Resolución del cuarto apartado

Debemos hallar el valor de $a$ para el cual la velocidad media en los puntos de la curva $C_a$ sea $v=.0055$: $$\frac{a^5-32}{128a^4(2+a)}=v \hspace{.4cm}\Rightarrow \hspace{.4cm} (128v-1)a^5+256va^4+32=0$$ Piensa cómo utilizar el ordenador para resolver esa ecuación y luego pulsa en 'Ver'.

v=.0055;
syms a
solve((128*v-1)*a^5+256*v*a^4+32)

v=.0055;
p=[(128*v-1) 256*v 0 0 0 32];
roots(p)