Longitud de una curva cerrada

Enunciado

Encuentra la longitud de la curva cerrada dada por la ecuación $\rho(\theta)=\mbox{sen}^3\frac{\theta}{3}$. Dibújala utilizando el ordenador.

Paso 1

Para calcular la longitud de una curva debemos determinar su elemento diferencial de arco, $ds$. En este caso, puesto que $\frac{d\rho}{d\theta}=\mbox{sen}^2\frac{\theta}{3}\cos\frac{\theta}{3}$, ese elemento diferencial es

$ds=\sqrt{1+(\mbox{sen}^2\frac{\theta}{3}\cos\frac{\theta}{3})^2}\, d\theta$

$ds=\sqrt{\mbox{sen}^6\frac{\theta}{3}+(\mbox{sen}^2\frac{\theta}{3}\cos\frac{\theta}{3})^2}\, d\theta$

¡No! Para una curva expresada en polares, el elemento $ds$ no se obtiene así.

En efecto, así se calcula el elemento diferencial de arco en polares pero esta expresión puede simplificarse un poco sacando $\mbox{sen}^4\frac{\theta}{3}$ factor común a los dos sumandos. Hazlo tú y pulsa en Continuar.

Ya tenemos que $$ds=\mbox{sen}^2\frac{\theta}{3}\ d\theta$$

Paso 2

Debemos encontrar ahora cuáles son los extremos de integración. Para que los puntos, en coordenadas polares $[\mbox{sen}^3\frac{\theta}{3},\theta]$ dibujen el arco una sóla vez, los valores de $\theta$ deben variar en

$\left[0,\frac{2\pi}{3}\right]$, ya que la curva tiene tres lazos para $[0,2\pi]$

$[0,2\pi]$, ya que es así muchas veces

$[0,6\pi]$, ya que por ser $\mbox{sen}\,\theta$ $2\pi-$periódica, $\mbox{sen}\,\frac{\theta}{3}$ es $6\pi-$periódica

$[0,3\pi]$, pues los valores de $\mbox{sen}^3\frac{\theta}{3}$ obtenidos con $\theta\in[0,3\pi]$ y con $\theta\in[3\pi,6\pi]$ son opuestos, proporcionando el mismo punto del plano

Eso no es cierto.

Aquí no es así, pues dentro del seno, el ángulo está dividido por 3, y eso cambia el periodo.

Es cierto que el periodo de $\mbox{sen}\,\frac{\theta}{3}$ es $6\pi$, pero debes tener en cuenta que $\mbox{sen}\,\frac{\theta}{3}=-\mbox{sen}\,\left(\frac{\theta}{3}+\pi\right)$

En efecto, ya que el punto de coodenadas $[\rho,\theta]$ es el mismo que el coordenadas $[-\rho,\theta+\pi]$, o también $[-\rho,\theta+3\pi]$, lo que significa que los valores de $\mbox{sen}^3\frac{\theta}{3}$ para $\theta\in[0,3\pi]$ y para $\theta\in[3\pi,6\pi]$ proporcionan el mismo punto del plano: para $\theta\in[3\pi,6\pi]$ la curva repite los mismos puntos que ya se habían dibujado para $\theta\in[0,3\pi]$. Por tanto, la longitud de la curva viene dada por la integral $$\mbox{longitud}=\int_0^{3\pi} \mbox{sen}^2 \frac{\theta}{3}\, d\theta$$

Paso 3

Por último, calculamos esa integral. Hazlo tú y pulsa en 'Ver'.

Ver

$$\mbox{longitud}=\frac{1}{2}\int_0^{3\pi} \left (1-\cos\frac{2\theta}{3}\right) \, d\theta=\frac{1}{2}\left [\theta-\frac{3}{2}\mbox{sen}\frac{2\theta}{3}\right]_0^{3\pi}=\frac{3\pi}{2}$$ Para dibujarla en el ordenador podemos poner

 t=linspace(0,3*pi,50);
 polar(t,(sin(t/3)).^3)

o bien

t=linspace(0,3*pi);
plot(cos(t).*(sin(t/3)).^3,sin(t).*(sin(t/3)).^3)
axis equal

Resumen

encontrar el elemento diferencial de arco,
determinar los extremos de integración,
calcular la integral y dibujar la curva.

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