Paso 1

En este caso es sencillo encontrar las variables $u$ y $v$ en función de las variables $x$ e $y$: $$\left.\begin{array}{ll}x=u+v \\ y=u-v\end{array}\right|\hspace{.5cm} \Rightarrow \hspace{.5cm} \begin{array}{ll} u=\frac{1}{2}(x+y)\\ v=\frac{1}{2}(x-y)\end{array}$$ Puesto que $z$ es función de $x$ e $y$, siendo $x$ e $y$ funciones de $u$ y $v$, y deben escribirse las derivadas $z''_{xx}$ y $z''_{yy}$ utilizando las derivadas de $z$ respecto de $u$ y $v$, debemos seguir la derivación compuesta de dos variables .

Paso 2

Necesitaremos las derivadas de $u$ y $v$ respecto de $x$ e $y$. Hazlas y pulsa en 'Continuar'. Continuar

Es fácil obtener que $$u'_x=\frac{1}{2} \ \ \ ,\ \ \ \ u'_y=\frac{1}{2}$$ y que $$v'_x=\frac{1}{2} \ \ \ ,\ \ \ \ v'_y=\frac{-1}{2}$$

Paso 3

Ahora expresaremos $z'_{x}$ y $z'_y$ en función de $u$ y $v$: $$z'_x=z'_uu'_x+z'_vv'_x=\frac{1}{2}(z'_u+z'_v)$$ $$z'_y=z'_uu'_y+z'_vv'_y=\frac{1}{2}(z'_u-z'_v)$$ Ahora haz tú lo mismo para $z''_{xx}$ y $z''_{yy}$ y pulsa en 'Continuar' cuando lo tengas. Continuar

$$z''_{xx}=(z'_x)'_uu'_x+(z'_x)'_vv'_x=\frac{1}{2}(z''_{uu}+z''_{vu})u'_x+\frac{1}{2}(z''_{uv}+z''_{vv})v'_x=\frac{1}{4}(z''_{uu}+z''_{vu})+\frac{1}{4}(z''_{uv}+z''_{vv})$$ $$z''_{yy}=(z'_y)'_uu'_y+(z'_y)'_vv'_y=\frac{1}{2}(z''_{uu}-z''_{vu})u'_y+\frac{1}{2}(z''_{uv}-z''_{vv})v'_y=\frac{1}{4}(z''_{uu}-z''_{vu})-\frac{1}{4}(z''_{uv}-z''_{vv})$$ Ahora debemos tener en cuenta el teorema de Schwarz sobre derivadas segundas cruzadas, con lo cual $$z''_{xx}=\frac{1}{4}(z''_{uu}+2z''_{uv}+z''_{vv})$$ $$z''_{yy}=\frac{1}{4}(z''_{uu}-2z''_{uv}+z''_{vv})$$ Sólo queda sustituir en la expresión $z''_{xx}=z''_{yy}$: $$z''_{xx}=z''_{yy} \hspace{.4cm} \Rightarrow \hspace{.4cm} z''_{uv}=0$$ Continuar

Resolución del segundo apartado

Para encontrar todas las funciones $z=z(x,y)$ que cumplen que $z''_{xx}=z''_{yy}$, utilizamos el apartado anterior, ya que la ecuación equivalente, $z''_{uv}=0$, es más sencilla de resolver.

Paso 1

Escoge cúales son todas las funciones que cumplen $z''_{uv}=0$:

Paso 2

Ahora debemos escribir la expresión $z(u,v)=f(u)+g(v)$ de nuevo en las variables $x$ e $y$, teniendo en cuenta que $u=\frac{1}{2}(x+y)$ y $v=\frac{1}{2}(x-y)$. Hazlo tú y pulsa en 'Ver'

Resolución del tercer apartado

Elegimos dos funciones $f$ y $g$ cualesquiera, dentro de que sean derivables por supuesto. Podemos tomar $f(t)=\cos t$ y $g(t)=\cos^2 t$. La función resulta $$z(x,y)=f(x+y)+g(x-y)=\cos(x+y)+\cos^2(x-y)$$ Su derivada $z''_{xx}$ es $$z''_{xx}=-\cos(x+y)-2\cos 2(x-y)$$ Escribe las líneas de código para dibujar una porción de la gráfica de estas funciones y pulsa en 'Ver'.

[X,Y]=meshgrid(0:.1:2*pi);
figure(1)
surf(X,Y,cos(X+Y)+(cos(X-Y).^2))
shading interp
figure(2)
surf(X,Y,-cos(X+Y)-2*cos(2*(X-Y)))
shading interp