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Enunciado

Dada la función $f\left( {x,y} \right) = \log \left( {1 + {x^2} + {y^2}} \right)$, se pide:
  1. Representar con Matlab la función y las curvas de nivel.
  2. Calcular los extremos de la función en su dominio.

Resolución del primer apartado

Para dibujar con Matlab la gráfica de la función y sus curvas de nivel pondremos: 
[R, P]=meshgrid(0:0.2:2,0:pi/20:2*pi);
X1=R.*cos(P);
Y1=R.*sin(P);
Z1=log(1+X1.^2+Y1.^2);
surfc(X1,Y1,Z1);
shading interp
Gráfica

Resolución del segundo apartado

Al ser la función diferenciable sólo tiene valores extremos en los puntos en los que el plano tangente es horizontal. Por eso se calculan los puntos que cumplen:
$$f_x^' = {{2x} \over {{x^2} + {y^2} + 1}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f_y^' = {{2y} \over {{x^2} + {y^2} + 1}} = 0$$
$${{x^2} + {y^2} + 1}=0$$
$$x=-y$$
En efecto, el plano tangente es cero cuando $f_x^' = {{2x} \over {{x^2} + {y^2} + 1}} = 0$, $f_y^' = {{2y} \over {{x^2} + {y^2} + 1}} = 0$, es decir, cuando $\nabla f\left( {x,y} \right) = 0$. En el conjunto de puntos que verifican estas dos igualdades debemos buscar los extremos de $f$ (ver condición).
Gráfica

Resuelve el sistema y pulsa sobre el botón .
Falso, no hay ningún punto que verifique esta condición.
Falso, estos puntos verificarían que $f_x^' + f_y^' = 0$, pero no son los puntos críticos de la función $f$.
El punto crítico es $x = y = 0$.
Para analizar el tipo de extremo calculamos las derivadas de orden 2 y el hessiano en este punto.
Pulsa en el botón en cuanto lo tengas.
Los valores de las derivadas parciales segundas y el hessiano en el punto $\left( {0, 0} \right)$ son: $$f_{xx}^{''} = {{ - 2{x^2} + 2{y^2} + 2} \over {{{\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right)}^2}}} \,\,\,\,\,\,\, f_{yy}^{''} = {{ - 2{y^2} + 2{x^2} + 2} \over {{{\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right)}^2}}} \,\,\,\,\,\,\,f_{xy}^{''} = {{ - 4xy} \over {{{\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right)}^2}}}$$ $$H\left( {0,0} \right) = \left| {\matrix{ 2 & 0 \cr 0 & {2\,} \cr } } \right| = 4$$
Por ello, podemos concluir que el punto $\left( {0, 0} \right)$ es un:
mínimo relativo
máximo relativo
punto de silla
ya que $H\left( {0, 0} \right) > 0, \,\,\,\,\, f_{xx}^{''}\left( {0, 0} \right) > 0$ (ver el teorema del hessiano).
Conclusión: El punto $\left( {0, 0} \right)$ es un mínimo relativo de valor $f\left( {0, 0} \right) = 0$.
Falso, revisa el teorema del hessiano.
Falso, revisa el teorema del hessiano.