Método del hessiano
Sea $z = f\left( {x,y} \right)$ una función diferenciable en un conjunto $D$ que
no contiene a su frontera y $\left( {a,b} \right) \in D$ un punto en el que
se cumple $f_x^'\left( {a,b} \right) = f_y^'\left( {a,b} \right) = 0$.
Considerando el hessiano de $f$ en el punto $\left( {a,b} \right)$
$$H = \left| {\,\matrix{
{f_{xx}^{''}\left( {a,\,b} \right)} &
{f_{xy}^{''}\left( {a,\,b} \right)\,\,} \cr
{f_{yx}^{''}\left( {a,\,b}
\right)} & {f_{yy}^{''}\left( {a,\,b} \right)\,\,} \cr
} } \right|\,$$
si:
- $H > 0$ y $f_{xx}^{''}\left( {a,\,b} \right) > 0\,$ entonces
$\,\left( {a,\,b} \right)\,$ es un mínimo relativo de $f$ de valor $f\left( {a,b}
\right)$
- $H > 0$ y $f_{xx}^{''}\left( {a,\,b} \right) < 0\,$ entonces
$\,\left( {a,\,b} \right)\,$ es un máximo relativo de $f$ de valor $f\left( {a,b}
\right)$
- $H < 0$, entonces $\,\left( {a,\,b} \right)\,$ es un punto de silla de $f$.