Al ser la función diferenciable sólo tiene valores extremos en los puntos en los que el plano tangente es horizontal. Por eso se calculan los puntos que cumplen:
$$f_x^' = y - 2x - 2 = 0 \,\,\,\,\,\, f_y^' = x - 2y - 2 = 0$$
En efecto, el plano tangente es cero cuando $f_x^' = y - 2x - 2 = 0 \,\,\,\,\,\, f_y^' = x - 2y - 2 = 0$, es decir, cuando $\nabla f\left( {x,y} \right) = 0$. En el conjunto de puntos que verifican estas dos ecuaciones debemos buscar los extremos de $f$. (ver condición).
Resuelve el sistema y pulsa sobre el botón
.
Falso, estos puntos son los que verifican que la suma de las componentes del vector gradiente es 0. Esto no significa que el punto sea crítico.
Falso, la función $F$ es $f\left( {x,y} \right) - z$ y no permite obtener los puntos críticos de la función $f$.
El punto crítico es $x = y = - 2$. Para analizar el tipo de extremo calculamos las derivadas de orden 2 y el hessiano en este punto. Pulsa en el botón en cuanto lo tengas.
Los valores de las derivadas parciales segundas y el hessiano en el punto $\left( {-2, - 2} \right)$ son:
$$f_{xx}^{''} = - 2 \,\,\,\,\,\,\, f_{yy}^{''} = - 2 \,\,\,\,\,\,\, f_{xy}^{''} = 1 \,\,\,\,\,\,\, H = \left| {\matrix{{ - 2} & 1 \cr 1 & { - 2\,} \cr } } \right| = 3$$
Por ello, podemos concluir que el punto $\left( {-2, - 2} \right)$ es un:
máximo relativo
mínimo relativo
punto de silla
En efecto, ya que $H > 0$ y $ f_{xx}^{''} < 0$ (ver el teorema del hessiano).
Conclusión: El punto $\left( {-2, - 2} \right)$ es un máximo relativo de valor $f\left( {-2, - 2} \right) = 8$.