Derivadas parciales

Definición(Derivada parcial respecto de $x$).- Si $z=f(x,y)$ es una función de dos variables, se define la derivada parcial de $f$ en el punto $(a,b)$ con respecto a $x$ como: $$f'_x(a,b)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(a+\Delta x,b)-f(a,b)}{\Delta x}$$ siempre que ese límite exista.

Definición(Derivada parcial respecto de $y$).- Si $z=f(x,y)$ es una función de dos variables, se define la derivada parcial de $f$ en el punto $(a,b)$ con respecto a $y$ como: $$f'_y(a,b)=\lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(a,b+\Delta y)-f(a,b)}{\Delta y}$$ siempre que ese límite exista.

NOTACIÓN: $$f'_x(a,b)=\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) \hspace{.3cm}, \hspace{.3cm} f'_y(a,b)=\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)$$

Las derivadas parciales no son más que derivadas de una función de una variable:

• INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA: la derivada parcial de $z=f(x,y)$ respecto de $x$ en el punto $(a,b)$ es la derivada de la función $g(x)=f(x,b)$; la curva $z=g(x)$ es la intersección entre la superficie $z=f(x,y)$ y el plano vertical $y=b$ y la pendiente de esta curva en el punto $(a,b,f(a,b))$ es la derivada parcial $f'_x(a,b)$; paralelamente, $f'_y(a,b)$ es la pendiente en el punto $(a,b,f(a,b))$ de la curva $z=h(y)=f(a,y)$ intersección entre la superficie $z=f(x,y)$ y el plano vertical $x=a$.

• USO PRÁCTICO: a efectos de cálculo, son aplicables las reglas de derivación conocidas para funciones de una variable.

Derivadas parciales de segundo orden

Si una función $z=f(x,y)$ admite derivadas parciales en puntos de un cierto dominio, podemos considerar las nuevas funciones $f'_x(x,y)$ y $f'_y(x,y)$ y a su vez sus derivadas parciales, que serán cuatro: $$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=f''_{xx} \hspace{.3cm}, \hspace{.3cm} \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=f''_{xy} \hspace{.3cm}, \hspace{.3cm} \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=f''_{yx} \hspace{.3cm}, \hspace{.3cm} \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=f''_{yy} $$

TEOREMA de Schwarz: Si para la función $z=f(x,y)$ definida en $D$ existen $f'_x$, $f'_y$, $f''_{xy}$, $f''_{yx}$ y además $f''_{xy}$ es continua en $D$, entonces $$f''_{xy}(x,y)=f''_{yx}(x,y)\ \ \forall (x,y)\in D$$

Derivadas direccionales

Definición(Dirección en el plano).- Una dirección en ${\bf R}^2$ es cualquier vector de norma 1.

IMPORTANTE: Si ${\bf u}$ es una dirección en el plano entonces se puede expresar como $${\bf u}=(\cos \phi,\mbox{sen} \phi)$$ siendo $\phi$ el ángulo que forma el vector con el eje $0X$ positivo.

Definición(Derivada direccional).- Se define la derivada direccional de $z=f(x,y)$ en el punto $(a,b)$, en la dirección de ${\bf u}=(\cos \phi,\mbox{sen} \phi)$ como el valor del siguiente límite en el caso de que exista: $$D_{\bf u}f(a,b)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h\cos\phi,b+h\mbox{sen}\phi)-f(a,b)}{h}$$ La derivada direccional es la pendiente de la recta tangente a la curva intersección de la superficie con el plano vertical que contiene a la dirección dada.

Diferencial y diferenciabilidad

Definición(Función diferenciable).- Dada la función $z=f(x,y)$ definida y acotada en un dominio $D$, al cual pertenece el punto $(a,b)$, existiendo las derivadas parciales de $f$ en dicho punto, se dice que $f$ es diferenciable en $(a,b)$ si el incremento total $\Delta z=f(a+\Delta x,b+\Delta y)-f(a,b)$ correspondiente a los incrementos arbitrarios $\Delta x$ e $\Delta y$ se puede expresar como $$\Delta z=f'_x(a,b) \Delta x+f'_y(a,b) \Delta y+\epsilon(\Delta x,\Delta y)\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$$ cumpliendo que: $$\lim_{(\Delta x,\Delta y)\rightarrow (0,0)}\epsilon(\Delta x,\Delta y)=0$$

Definición(Diferencial de una función).- A la parte lineal en $\Delta x$ e $\Delta y$ de la expresión anterior se le llama diferencial de $z=f(x,y)$ en el punto $(a,b)$ y se denota por $dz$: $$dz=f'_x(a,b) dx+f'_y(a,b)dy$$

CONDICIÓN NECESARIA DE DIFERENCIABILIDAD: Si la función $z=f(x,y)$ es diferenciable en el punto $(a,b)$ entonces $z=f(x,y)$ es continua en el punto $(a,b)$.

CONDICIÓN SUFICIENTE DE DIFERENCIABILIDAD: Si la función $z=f(x,y)$ y una o las dos derivadas parciales primeras de $f$ son continuas en un entorno del punto $(a,b)$, entonces $z=f(x,y)$ es diferenciable en el punto $(a,b)$.

EXISTENCIA Y CÁLCULO DE LAS DERIVADAS DIRECCIONALES: Si la función $z=f(x,y)$ es diferenciable en el punto $(a,b)$, entonces existe la derivada direccional en $(a,b)$ para cualquier dirección ${\bf u}=(\cos \phi,\mbox{sen} \phi)$ y es $$D_{\bf u}f(a,b)=f'_x(a,b) \cos\phi +f'_y(a,b)\mbox{sen} \phi$$

IMPORTANTE: Como pretende mostrar el siguiente esquema, una función de dos variables puede ser derivable en todas las direcciones y no ser continua; si es diferenciable sí es continua (condición necesaria anterior) y existen derivadas direccionales en todas las direcciones:

Gradiente

Definición(Gradiente).- Si $z=f(x,y)$ es una función de dos variables se define el gradiente de $f$ en el punto $(a,b)$ como el vector $$\nabla f(a,b)=(f'_x(a,b),f'_y(a,b))$$

Con esta notación, si la función $f$ es diferenciable, la derivada direccional se escribe como $$D_{\bf u}f(a,b)=f'_x(a,b) \cos\phi +f'_y(a,b)\mbox{sen} \phi=\nabla f \cdot {\bf u}$$ En base a esto, si la función $f$ es diferenciable, el vector gradiente de $f$ en $(a,b)$ tiene las siguientes propiedades

• Si es nulo, entonces todas las derivadas direccionales de $f$ en $(a,b)$ son nulas.

• La dirección de máximo crecimiento de $f$ es $\frac{\nabla f(a,b)}{|\nabla f(a,b)|}$. El valor máximo que pueden tomar las derivadas direccionales es $|\nabla f(a,b)|$.

• La dirección de máximo decrecimiento de $f$ viene dada por $-\frac{\nabla f(a,b)}{|\nabla f(a,b)|}$. El valor mínimo que pueden tomar las derivadas direccionales es $-|\nabla f(a,b)|$.

• El vector gradiente en $(a,b)$ es normal a la curva de nivel de valor $f(a,b)$.