Se relacionan a continuación los conceptos básicos sobre funciones de varias variables, escribiéndolos para funciones de dos variables independientes; para funciones de más de dos variables la generalización es obvia.

• Función real de dos variables, $f$: es una correspondencia que asigna a cada pareja $(x,y)$ de números reales otro número real único $f(x,y)$.

• Dominio de la función $f$: Se define el dominio $D$ de la función $f$ como el conjunto de pares reales en los que la función está definida.

• Rango o imagen de $f$: se llama así al conjunto de números reales dado por $$\mbox{Im}f=\{f(x,y)\in{\bf R}/ \, (x,y)\in D\}$$

• Gráfica de la función $f(x,y)$ definida en $D$: es el conjunto en el espacio ${\bf R}^3$ de todos los puntos de la forma $(x,y,f(x,y))$ para $(x,y)\in D$.

• Representación gráfica de $f$: es el trazado o dibujo de los puntos de la gráfica de $f(x,y)$. Esta gráfica puede ser interpretada geométricamente como una superficie en el espacio.

• Curva de nivel: Para una función de dos variables, $z=f(x,y)$, la curva de nivel de valor $k$ es el conjunto de todos los puntos $(x,y)$ del plano $XY$ tales que su imagen es el valor $k$.

• Curva de contorno de altura $k$: es la intersección entre la gráfica de $z=f(x,y)$ y el plano $z=k$; así la curva de nivel de valor $k$ es la proyección en el plano $XY$ de la curva de contorno de altura $k$.

• Límite: Diremos que el límite de $f(x,y)$ cuando $(x,y)$ se aproxima al punto $(a,b)$ es $L$ si para cualquier $\epsilon$ positivo existe un número $\delta$ positivo tal que los valores que toma $f$ en un círculo de radio $\delta$ (centrado en $(a,b)$) distan como mucho $\epsilon$ de $L$: $$d((x,y),(a,b))<\delta\ \ \Rightarrow \ \ d(f(x,y),L))<\epsilon$$

  IMPORTANTE: Cuando deseábamos conocer si una función de una variable tenía límite, únicamente debíamos estudiar los dos sentidos de aproximación (por una misma dirección); sin embargo cuando se trata de analizar el límite de una función de dos o más variables, la aproximación al punto puede hacerse por infinitas direcciones, pudiendo existir diferentes límites según la dirección de acercamiento al punto: en ese caso, se dice que no existe el límite en ese punto.

• Continuidad de una función: una función $z=f(x,y)$ es continua en un punto $(a,b)$ de su dominio si $$\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)} f(x,y)=f(a,b)$$

  IMPORTANTE: Puesto que los límites de funciones de varias variables tienen las mismas propiedades con respecto a la suma, sustracción, producto y cociente que las que poseen las funciones de una variable, se deduce que son continuas la suma, el producto y el cociente de funciones continuas (en este último caso siempre que no se divida por cero); así mismo, es continua la función compuesta de dos funciones continuas.