Calcula el valor aproximado de $e^2$ con un error menor que $10^{-3}$ utilizando únicamente sumas y productos, mediante el desarrollo en serie de MacLaurin de $f(x)=e^x$;
Aproxima de nuevo $e^2$, ahora con el desarrollo de MacLaurin de la función $g(x)=e^{2x^2}$, tomando como grado del polinomio el que resultó en el apartado anterior.
Resolución primer apartado
Paso 1
El desarrollo en serie de MacLaurin es el de Taylor de centro $a=0$. Si no recuerdas cómo se hace puedes verlo en desarrollo de Taylor . Sabemos que la derivada $n$-ésima de $f(x)=e^x$ es $e^x$. Por tanto, la expresión de la fórmula
$$f(x)=e^x=T_n(e^x;0)+R_n(x)$$ es... pulsa en 'Ver' cuando la tengas.
Ver
$$f(x)=e^x=T_n(e^x;0)+R_n(x)= \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}+ \frac{e^t}{(n+1)!}x^{n+1}$$
siendo $t$ intermedio a $0$ y $x$.
Paso 2
Una vez que hemos escrito el polinomio y el resto para cualquier valor de $x$, lo hemos de concretar para $x=2$:
$$f(2)=e^2=T_n(e^2;0)+R_n(2)= \sum_{k=0}^n \frac{2^k}{k!}+ \frac{e^t}{(n+1)!}2^{n+1}$$
siendo $t$ intermedio a $0$ y $2$.
El primer sumando de esta expresión, el sumatorio, es el valor aproximado de $e^2$ y el segundo sumando es el error que se comete con esa aproximación:
$$e^2\approx \sum_{k=0}^n \frac{2^k}{k!} =1+2+2+\frac{8}{3!}+\ldots+\frac{2^n}{n!} \ \ \ \mbox{con error}
\ \ \ \frac{e^t}{(n+1)!}2^{n+1}, \ \ \ t\in(0,2)$$
Lo que hemos de averiguar ahora es el $n$ mínimo para que
$$\frac{e^t}{(n+1)!}2^{n+1}< 10^{-3}$$
Para ello,
hemos de hallar el valor de $t$
hemos de acotar $e^t$
Eso no es posible.
En efecto, hemos de acotar el resto por una expresión en la que no esté ya $t$, para después forzar a que esa expresión sea menor que $10^{-3}$. ¿Por qué número acotamos $e^t$, para $t\in(0,2)$? Piénsalo y pulsa en 'Continuar'.
En efecto,
$$0< t< 2 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ e^0 < e^t< e^2 < 9$$
ya que $e< 3$. Así,
$$R_n(2)=\frac{e^t}{(n+1)!}2^{n+1}< \frac{9}{(n+1)!}2^{n+1}$$
Ahora forzamos que esa última expresión sea menor que $10^{-3}$, para saber qué valor de $n$ tomar:
$$\frac{9}{(n+1)!}2^{n+1} \leq \frac{1}{10^3}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{(n+1)!}{2^{n+1}}\geq 9\cdot 10^3$$
Para encontrar el primer valor de $n$ que cumpla la última desigualdad, podemos ir calculando esa cantidad en la calculadora o el ordenador hasta encontrarlo, pero es mejor utilizar un ciclo 'while'. Inténtalo y pulsa en 'Ver'.
Ver
Podemos poner
v=1/2;n=1;
while v<9*10^3
n=n+1;
v=factorial(n+1)./2.^(n+1)
end
n
Si lo has ejecutado, verás que sale $n=10$. Si no sabes manejar este tipo de ciclos, pero no quieres ir dando valores para encontrar $n$, puedes utilizar el ordenador generando un vector, por ejemplo con los 12 primeros números naturales, aplicarles esa operación y así determinar cuándo empieza el resultado a ser mayor que $9000$:
n=1:12;
factorial(n+1)./2.^(n+1)
Si con los primeros doce no hubiera sido suficiente (no es el caso), es fácil tomar los doce siguientes.
Paso 3
Calculamos la aproximación. Ya sabemos que $$e^2\approx \sum_{k=0}^n \frac{2^k}{k!} =1+2+2+\frac{8}{3!}+\ldots+\frac{2^n}{n!}$$ es una aproximación con un error menor que una milésima si $n=10$; es decir,
$$e^2\approx \sum_{k=0}^{10} \frac{2^k}{k!} =1+2+2+\frac{8}{3!}+\ldots+\frac{2^{10}}{10!}\ \ \mbox{con error}
< 10^{-3}$$
Utilizamos de nuevo el ordenador, ahora para calcular ese sumatorio. Hazlo tú y luego pulsa en 'Ver'
Ver
Podemos poner
n=0:10;
sum(2.^n./factorial(n))
Obtenemos como aproximación
$$e^2\approx 7.3890 \ \ \mbox{con error} < 10^{-3}$$
Observa que en este cálculo sólo se han utilizado operaciones elementales. Si queremos comprobar en el ordenador la exactitud de este resultado, podemos escribir
exp(2)
Resumen
escribir la fórmula de MacLaurin para $f(x)=e^x$,
particularizar en $x=2$ y buscar el valor de $n$ dada la cota de error,
ya conocido el número de sumandos, calcular la aproximación.
Resolución segundo apartado
Paso 1
Hemos de encontrar el desarrollo de MacLaurin de $g(x)=e^{2x^2}$. Una buena opción es utilizar el de $e^x$. Hazlo tú y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
Ver
$$e^x=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \ \ \ \Rightarrow\ \ \ e^{2x^2}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(2x^2)^k}{k!}$$
de donde
$$e^{2x^2}=\sum_{k=0}^\infty \frac{2^k}{k!}x^{2k}$$
Este desarrollo es válido en todos los reales.
Paso 2
Puesto que $e^2=g(1)$, para aproximar $e^2$ debemos tomar ese desarrollo en $x=1$:
$$e^2=\sum_{k=0}^\infty \frac{2^k}{k!}$$
El polinomio utilizado en el primer apartado fue de grado 10, así que ahora debemos tomar $\ldots$ piénsalo y pulsa en 'Ver'.
Ver
En efecto, debido a que en este caso sólo hay potencias pares, el grado 10 se alcanza tomando hasta $n=5$:
$$e^2\approx \sum_{k=0}^5 \frac{2^k}{k!}=1+2+2+\frac{8}{3!}+\frac{16}{4!}+\frac{32}{5!}$$
Paso 3
Calculamos esa suma. Podemos hacerlo de nuevo en el ordenador, con
n=0:5;
sum(2.^n./factorial(n))
obteniendo como aproximación
$$e^2\approx 7.2667$$
Resumen
escribir la fórmula de MacLaurin para $g(x)=e^{2x^2}$,
particularizar en $x=2$ y buscar el número de términos que debe sumarse,
ya conocido el número de sumandos, calcular la aproximación.