Fórmula y desarrollo de Taylor
FÓRMULA DE TAYLOR:
Si la función $f$ es derivable $n+1$ veces en un intervalo $(a-R,a+R)$ y escribimos
$$f(x)=T_n(f;a)+R_n(x)$$
siendo
$$T_n(f;a)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k}(a)}{k!}(x-a)^k$$
el polinomio de Taylor de grado $n$ de $f$ en el punto $a$ y $R_n(x)$ el resto del polinomio, entonces se cumple:
$$\lim_{x\rightarrow a} \frac{R_n(x)}{(x-a)^n}=0$$
DESARROLLO DE TAYLOR:
Si la función f es infinitamente derivable en un intervalo $(a-R,a+R)$ y si $R_n(x)$ es el resto de la fórmula de Taylor, entonces
$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n}(a)}{n!}(x-a)^n \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \lim_{n\rightarrow \infty} R_n(x)=0$$