Calcula el volumen del sólido limitado por dos cilindros circulares de igual radio\(R\) que se cortan ortogonalmente.$$\mbox{}$$$$\mbox{}$$$$\mbox{}$$
Paso 1
1.1) En primer lugar hay que colocar los cilindros de forma que el cálculo sea lo más sencillo posible. En esta resolución hemos elegido colocar uno a lo largo del eje OX y otro a lo largo del eje OY por cuestiones de facilidad en el dibujo.
Escribe la ecuación implícita del cilindro circular de eje OX y radio \(R\): (pincha en 'Ver' cuando lo tengas)
Ver
Esa ecuación es$$y^2+z^2=R^2$$
Escribe la ecuación implícita del cilindro circular de eje OY y radio \(R\): (pincha en 'Ver' cuando lo tengas)
Ver
Esa ecuación es$$x^2+z^2=R^2$$El sólido del que hemos de calcular el volumen es el encerrado entre los dos cilindros:
1.2) Colocados así es fácil ver que el centro de nuestro sólido coincide con elorigen de coordenadas, siendo simétrico
según el plano XY
según el plano XZ
según el plano YZ
según todos los planos coordenados
Es cierto, pero no completo.
Es cierto, pero no completo.
Es cierto, pero no completo.
En efecto, hay simetría respecto de los tres planos coordenados.De manera que podemos calcular el volumen sólo de la parte del primer octante ydespués multiplicar por 8.
1.3) ¿Cómo vamos a calcular el volumen de la parte del sólido del primer octante?
No hace falta usar integración, pues es una porción del interior de una esfera.
No hace falta usar integración, pues es una pirámide.
Ninguna de las otras opciones es correcta.
No es una porción de esfera, las carascurvadas no son esféricas.
No es una pirámide, tiene dos caras no planas.
En efecto, debemos usar integración. Recordando cómo se calcula el volumen de unsólido de sección transversal conocida(ver Teoría)podemos escribir$$V=8\int_{z_1}^{z_2} A(z)\, dz$$donde \(A(z)\) es el área de la sección transversal por un planoperpendicular el eje OZ y\(z_1\) y \(z_2\) son el menor y el mayor valor,respectivamente, que puede tomar la coordenada \(z\) en el sólido.
Paso 2
2.1) Debemos ahora encontrar \(A(z)\). Para ello hay que reconocer qué tipo deregión plana es la sección que forma en el sólido un plano \(z=\)constante:
Es un círculo
Es un triángulo
Es un cuadrado
¡No!, míralo bien.
¡No!, míralo bien.
En efecto, cada sección por un plano \(z=z_0\) es un cuadrado. Ahora hemosde encontrar su lado; para ello podemos ver donde están sus vértices:
Uno de ellos estáen el eje OZ, es el punto \((0,0,z_0)\)
El opuesto a él lo podemos hallar observando que
el plano \(z=z_0\) interseca a \(y^2+z^2=R^2\), \(y\geq 0\) enlos puntos de la forma \((x,\sqrt{R^2-z_0^2},z_0)\)
el plano \(z=z_0\) interseca a \(x^2+z^2=R^2\), \(x\geq 0\) enlos puntos de la forma \((\sqrt{R^2-z_0^2},y,z_0)\)
luego a los dos a la vez será en el punto \((\sqrt{R^2-z_0^2},\sqrt{R^2-z_0^2},z_0)\)
Con esto vemos que la sección por un plano \(z=z_0\) es un cuadrado de lado\(\sqrt{R^2-z_0^2}\), es decir, de área$$A(z_0)=\left(\sqrt{R^2-z_0^2}\right)^2=R^2-z_0^2$$
2.2) Para plantear totalmente la integral, sólo queda encontrar el rango de las\(z\) que proporcionan secciones. Busca \(z_1\) y \(z_2\), escribe la integralque da el volumen y pulsa en 'Ver'.
Calcula el volumen del sólido limitado por dos cilindros circulares de igual radio\(R\) que se cortan ortogonalmente.$$\mbox{}$$$$\mbox{}$$$$\mbox{}$$
En efecto, cada sección por un plano \(z=z_0\) es un cuadrado. Ahora hemosde encontrar su lado; para ello podemos ver donde están sus vértices:
Con esto vemos que la sección por un plano \(z=z_0\) es un cuadrado de lado\(\sqrt{R^2-z_0^2}\), es decir, de área$$A(z_0)=\left(\sqrt{R^2-z_0^2}\right)^2=R^2-z_0^2$$