Calcula el volumen de un sólido cuya base es el círculo \(x^2+y^2-2x\leq 8\) sabiendo que la sección determinada en él por cada plano perpendicular al eje 0X es un rectángulo de altura igual a \(k\) veces (\(k\) es una constante positiva) la distancia del origen al plano de la sección.
Resolución
Paso 1
¿Cómo calcularemos este volumen?
Despejando \(\ \ \ y=\sqrt{8+2x-x^2}\) y haciendo la integral \(\ \ \ \int_V \sqrt{8+2x-x^2}\, dx\)
Haciendo \(\ \ \ V=\text{área del círculo}\cdot h\)
Ninguna de las dos propuestas es correcta.
Eso no tiene nada que ver con el volumen pedido. Si pusiéramos los límites de integración adecuados, con esa integral estaríamos calculando un área plana: la del semicírculo superior.
¡No! Fíjate que la altura no es constante, luego no puede hacerse así.
En efecto, ninguna de las dos propuestas son correctas. Encontraremos el volumen como la integral de la función \(A(x)\) que da el área de la sección para cada \(x\) (Ver Teoría):$$\text{Volumen}=\int_{x_i}^{x_f} A(x)\, dx$$$$\mbox{}$$ $$\mbox{}$$
Paso 2
El enunciado dice que cada sección es un rectángulo, luego su área será la base por la altura, ambas funciones de \(x\):$$A(x)=b(x)h(x)$$Busquemos \(b(x)\), que para cada \(x\) es la base del rectángulo sección:
$$\hspace{1cm} b(x)=\sqrt{9-(x-1)^2}$$
$$\hspace{1cm} b(x)=2\sqrt{9-(x-1)^2}$$
ninguna de las dos propuestas es correcta
¡No!, con eso sólo estarías tomando la mitad. Fíjate en el dibujo.
En efecto, esa es la base. Puedes comprobarlo en el dibujo.
¡No!, sí que hay una correcta.
Debemos buscar ahora \(h(x)\), que para cada \(x\) es la altura del rectángulo sección:
$$h(x)=k\sqrt{x^2+y^2}$$
$$h(x)=k|x|$$
$$h(x)=kx$$
¡No!, el enunciado dice que la altura es proporcional a la distancia; esa distancia está medida en el eje 0X.
En efecto, esa es la altura. Con lo cual, ya tenemos \(A(x)\):$$A(x)=2k|x|\sqrt{9-(x-1)^2}$$
¡No!, la altura deberá ser siempre positiva, luego no puede ser \(kx\).
Paso 3
Por tanto, la integral que da el volumen pedido es (plantéala y pulsa en 'Ver' cuando la tengas):
Ver
El volumen es$$\text{Volumen}=\int_{-2}^{4} A(x)\, dx=2k\int_{-2}^{4} |x|\sqrt{9-(x-1)^2}\, dx$$
Paso 4.1
Para resolverla pondremos:
ya que \(\hspace{0.5cm} |x|\) es una función par,$$\text{Volumen}=4k\int_0^{4} x\sqrt{9-(x-1)^2}\, dx$$
puesto que \(\hspace{0.5cm} |x|\) no se puede integrar,$$\text{Volumen}=2k\int_{-2}^{4} x\sqrt{9-(x-1)^2}\, dx$$
¡No!, sí que es cierto que \(|x|\) es par, pero en el integrando hay más funciones y además el intervalo de integración no es simétrico.
¡No!, puesto \(|x|\) no se puede integrar, lo que hay que hacer es sustituirlo como corresponda.
Sí, eso es lo correcto.
Paso 4.2
Ahora debe calcularse la primitiva de \(x\sqrt{9-(x-1)^2}\):$$I=\int x \sqrt{9-(x-1)^2}\, dx$$Para ello, realiza el cambio de variable \(x-1=3\mbox{sen}\, t\). Pulsa en 'Ver' cuando hayas hecho el cambio y tengas la integral en la variable \(t\).
Ver
Eso es, haciendo el cambio resulta$$I=\int x \sqrt{9-(x-1)^2}\, dx= \{x-1=3\mbox{sen}\, t\}=9\int (3\mbox{sen}\, t+1) \cos^2 t\, dt$$
Ahora encuentra esta primitiva separando en dos integrales. Pulsa en 'Ver' cuando la tengas.
Ver
Esa separación en dos integrales es$$I=9\left( 3 \int \mbox{sen}\,t \, \cos^2 t\, dt+\int \cos^2 t\, dt \right)=9\left( \cos^3 t+\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\mbox{sen}\, 2t\right)$$
Que deshaciendo el cambio resulta (hazlo tú y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas)
Finalmente hacemos las integrales definidas utilizando la regla de Barrow:$$\text{Volumen}=2k\left(-I]_{-2}^0+I]_0^4\right)$$Evalúa \(-I]_{-2}^0\) y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas:
$$I]_0^4=9\frac{\pi}{4}+\frac{9}{2}\mbox{arcsen}\frac{1}{3}+\frac{19}{3}\sqrt{2}$$Con lo cual,$$\text{Volumen}=2k\left(-I]_{-2}^0+I]_0^4\right)=2k\left(9\,\mbox{arcsen}\frac{1}{3}+\frac{38}{3}\sqrt{2}\right)$$
Resumen
Planteamiento del volumen como integral de la función área de la sección transversal.
Cálculo de la función área de la sección transversal.
Determinar límites de integración y plantear la integral.
Resolver la integral:
Cambiar el valor absoluto de \(x\) por su expresión en función del intervalo en que esté \(x\).
Hallar la primitiva.
Evaluar las definidas mediante la regla de Barrow.
En efecto, ninguna de las dos propuestas son correctas. Encontraremos el volumen como la integral de la función \(A(x)\) que da el área de la sección para cada \(x\) (Ver Teoría):$$\text{Volumen}=\int_{x_i}^{x_f} A(x)\, dx$$$$\mbox{}$$ $$\mbox{}$$