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Enunciado

GráficaLa cardioide es una curva cerrada que viene dada por la ecuación polar $$\rho=a(1+\cos \theta)$$(\(a\) es un número real). Como ejemplo, la figura de la derecha muestra la gráfica de la cardioide para \(a=1\).
  1. Halla el área interior a la cardioide.
  2. Calcula el área de la región encerrada a la vez en la cardioide y en la circunferencia$$\rho=a\,\mbox{sen}\, \theta$$considerando $a>0$.

Solución del Apartado 1

Paso 1

Debemos empezar analizando cuál es el intervalo de variación del ángulo \(\theta\) para que los puntos en polares dados por \(\rho=a(1+\cos \theta )\) dibujen toda la cardioide y sólo una vez. Busca ese intervalo y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
Ver
Podemos comprobar que$$\left\{ \begin{array}{ccc} \theta=0 & \Rightarrow & \rho=2a \\\theta=\pi/2 & \Rightarrow & \rho=a \\\theta=\pi & \Rightarrow & \rho=0 \\\theta=3\pi/2 & \Rightarrow & \rho=a \\\theta=2\pi & \Rightarrow & \rho=2a \\\end{array}\right.$$Luego es necesario que \(\theta\) recorra desde \(\theta=0\) a \(\theta=2\pi\) para que se dibuje toda la cardioide.
Gráfica

Paso 2

Por tanto, teniendo en cuenta la Teoría, el área viene dada por la integral: (escríbela y pulsa en 'Ver')
Ver
$$\mbox{área}=\frac{a^2}{2}\int_0^{2\pi} (1+\cos \theta)^2\, d\theta$$

Paso 3

Sólo falta hallar el valor de esa integral. Hállalo tú y pulsa en 'Ver'.
Ver
$$\mbox{área}=\frac{a^2}{2}\int_0^{2\pi} \left(\frac{3}{2}+2\cos \theta +\frac{1}{2}\cos 2\theta \right)\, d\theta=$$ $$=\frac{a^2}{2}\left[\frac{3}{2}\theta+2\,\mbox{sen}\, \theta +\frac{1}{4}\,\mbox{sen}\, 2\theta \right]_0^{2\pi}=\frac{a^2}{2}\frac{3}{2}2\pi=\frac{3\pi}{2}a^2$$

Solución del Apartado 2

Paso 1

Debemos empezar buscando los puntos de corte entre ambas curvas: $$1+\cos\theta=\mbox{sen}\, \theta$$ Una opción es elevar al cuadrado cada término y luego escribirlo todo en función del coseno. Termínalo y pulsa en 'Ver' cuando los tengas.
Ver
$$1+\cos\theta=\mbox{sen}\, \theta\ \ \Rightarrow\ \ \ 1+2\cos\theta+\cos^2\theta=1-\cos^2\theta\ \ $$ $$\Rightarrow\ \ \ \cos\theta(\cos\theta+1)=0 \ \ \Rightarrow\ \ \ \cos\theta=0 \ \ \ \mbox{o}\ \ \ \cos\theta=-1$$
Eso quiere decir que los puntos de corte se producen: (selecciona la correcta)

\(\hspace{2cm} \mbox{Para} \ \theta=\pi/2 , \ \theta=\pi \ \mbox{y}\ \theta=\pi/2 \)
Ninguna de las opciones presentadas es correcta.
\(\hspace{2cm} \mbox{Para}\ \theta=\pi/2\ \mbox{y}\ \theta=\pi \)
Esos son demasiados. Piensa que la circunferencia \(\rho=\mbox{sen}\,\theta\) se dibuja entera con \(\theta\) entre \(0\) y \(\pi\). A partir de \(\theta=\pi\) se vuelven a dibujar los puntos del primer y segundo cuadrante.
Sí hay una opción correcta.
En efecto los puntos de corte sonGráfica

Paso 2

Teniendo en cuenta lo anterior, el área será: (elige la opción correcta)

$$\mbox{área}=\frac{a^2}{2}\int_0^{\pi/2} (1+\cos\theta)^2\, d\theta+\frac{a^2}{2}\int_{\pi/2}^{\pi}(\mbox{sen}\, \theta)^2\, d\theta$$
Ninguna de las opciones presentadas es correcta.
$$\mbox{área}=\frac{a^2}{2}\int_0^{\pi/2} (\mbox{sen}\, \theta)^2 \, d\theta+\frac{a^2}{2}\int_{\pi/2}^{\pi}(1+\cos\theta)^2\, d\theta$$
¡No!, en el primer cuadrante la curva más cercana al origen es la circunferencia, no la cardioide; en el segundo cuadrante es al revés.
Sí hay una opción correcta.
Efectivamente ésa es el área, pues en el primer cuadrante la curva más cercana al origen es la circunferencia y en segundo cuadrante es la cardioide.

Paso 3

Realmente la primera integral no hay que calcularla, pues es el área de un semicírculo de radio \(a/2\). Encuentra la segunda integral y el total; pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
Ver
Utilizando cálculos del apartado anterior, $$\int_{\pi/2}^{\pi}(1+\cos\theta)^2\, d\theta=\left[\frac{3}{2} \theta +2\mbox{sen}\, \theta +\frac{1}{4}\mbox{sen}\, 2\theta\right]_{\pi/2}^{\pi}=\frac{3\pi}{4}-2$$ Con lo cual, $$\mbox{área}=\frac{a^2}{8}\pi+\frac{a^2}{2}\left(\frac{3\pi}{4}-2\right)=\left(\frac{\pi}{2}-1\right)a^2$$

Resumen

  1. Apartado 1
    1. Buscar el intervalo del ángulo que produce el arco que necesitamos.
    2. Escribir la integral que conduce al área.
    3. Calcular la integral.
  2. Apartado 2
    1. Buscar los puntos de intersección entre las curvas que limitan la región.
    2. Escribir las integrales que conducen al área.
    3. Calcular las integrales.
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