La cardioide es una curva cerrada que viene dada por la ecuación polar $$\rho=a(1+\cos \theta)$$(\(a\) es un número real). Como ejemplo, la figura de la derecha muestra la gráfica de la cardioide para \(a=1\).
Halla el área interior a la cardioide.
Calcula el área de la región encerrada a la vez en la cardioide y en la circunferencia$$\rho=a\,\mbox{sen}\, \theta$$considerando $a>0$.
Solución del Apartado 1
Paso 1
Debemos empezar analizando cuál es el intervalo de variación del ángulo \(\theta\) para que los puntos en polares dados por \(\rho=a(1+\cos \theta )\) dibujen toda la cardioide y sólo una vez. Busca ese intervalo y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
Ver
Podemos comprobar que$$\left\{ \begin{array}{ccc} \theta=0 & \Rightarrow & \rho=2a \\\theta=\pi/2 & \Rightarrow & \rho=a \\\theta=\pi & \Rightarrow & \rho=0 \\\theta=3\pi/2 & \Rightarrow & \rho=a \\\theta=2\pi & \Rightarrow & \rho=2a \\\end{array}\right.$$Luego es necesario que \(\theta\) recorra desde \(\theta=0\) a \(\theta=2\pi\) para que se dibuje toda la cardioide.
Paso 2
Por tanto, teniendo en cuenta la Teoría, el área viene dada por la integral: (escríbela y pulsa en 'Ver')
Debemos empezar buscando los puntos de corte entre ambas curvas:
$$1+\cos\theta=\mbox{sen}\, \theta$$
Una opción es elevar al cuadrado cada término y luego escribirlo todo en función del coseno. Termínalo y pulsa en 'Ver' cuando los tengas.
Esos son demasiados. Piensa que la circunferencia \(\rho=\mbox{sen}\,\theta\) se dibuja entera con \(\theta\) entre \(0\) y \(\pi\). A partir de \(\theta=\pi\) se vuelven a dibujar los puntos del primer y segundo cuadrante.
Sí hay una opción correcta.
En efecto los puntos de corte son
Para \(\theta=\pi/2\): punto \((0,1)\)
Para \(\theta=\pi\): punto \((0,0)\)
Paso 2
Teniendo en cuenta lo anterior, el área será: (elige la opción correcta)
¡No!, en el primer cuadrante la curva más cercana al origen es la circunferencia, no la cardioide; en el segundo cuadrante es al revés.
Sí hay una opción correcta.
Efectivamente ésa es el área, pues en el primer cuadrante la curva más cercana al origen es la circunferencia y en segundo cuadrante es la cardioide.
Paso 3
Realmente la primera integral no hay que calcularla, pues es el área de un semicírculo de radio \(a/2\). Encuentra la segunda integral y el total; pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
Ver
Utilizando cálculos del apartado anterior,
$$\int_{\pi/2}^{\pi}(1+\cos\theta)^2\, d\theta=\left[\frac{3}{2} \theta +2\mbox{sen}\, \theta +\frac{1}{4}\mbox{sen}\, 2\theta\right]_{\pi/2}^{\pi}=\frac{3\pi}{4}-2$$ Con lo cual,
$$\mbox{área}=\frac{a^2}{8}\pi+\frac{a^2}{2}\left(\frac{3\pi}{4}-2\right)=\left(\frac{\pi}{2}-1\right)a^2$$
Resumen
Apartado 1
Buscar el intervalo del ángulo que produce el arco que necesitamos.
Escribir la integral que conduce al área.
Calcular la integral.
Apartado 2
Buscar los puntos de intersección entre las curvas que limitan la región.