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Enunciado

Determina el área de la región finita encerrada entre las curvas \(f(x)=-x^2+3x-1\) y \(g(x)=x^3-2x^2+x-1\).

Paso 1

Debemos empezar calculando los puntos de intersección entre las curvas \(y=f(x)\) y \(y=g(x)\). Hazlo y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
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$$x^3-2x^2+x-1=-x^2+3x-1 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x^3-x^2-2x=0 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=\left\{ \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right.$$Por tanto los puntos sonEsto quiere decir que la región finita de la que tenemos que calcular el área está incluída en la banda\(-1\leq x\leq 2\).
Por tanto, teniendo en cuenta la teoría, el área que buscamos es (selecciona la correcta)

$$\text{área}=\int_{-1}^2 (x^3-x^2-2x) \, dx$$
$$\text{área}=\left|\int_{-1}^2 (x^3-x^2-2x) \, dx \right |$$
Ninguna de las opciones es correcta.
$$\text{área}=\int_{-1}^2 |x^3-x^2-2x| \, dx$$
¡No!; ser??a así si supiéramos que \(y=g(x)\) va por encima, pero eso no lo sabemos y además, esa situación seguramente cambiará en el punto \(x=0\).
¡No!, pues no sabes qué curva va por encima y además, eso seguramente cambiará en el punto \(x=0\). La integral que has elegido es necesariamente menor que el área correcta.
Pues sí hay una correcta. Piénsalo de nuevo.
En efecto, poner el valor absoluto en el integrando es la forma de expresar que el área es la integral de \(g(x)-f(x)\) donde \(y=g(x)\) sea mayor que \(y=f(x)\) y la integral de \(f(x)-g(x)\) donde sea al revés.

Paso 2

Tenemos por tanto que averiguar cuál de las curvas va por encima en cada intervalo \([-1,0]\) y \([0,2]\). Para ello evaluamos las funciones en puntos intermedios y comparamos los valores. Hazlo tú y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas:
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Paso 3

Esboza un dibujo de la región de la que estamos calculando el área y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
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Gráfica

Paso 4

Con esto ya sabemos escribir el área como suma de dos integrales, que además son inmediatas. Escríbelas y halla su valor; pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
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$$\text{área}=\int_{-1}^0 \left[g(x)-f(x)\right]\, dx+\int_0^{2} \left[f(x)-g(x)\right]\, dx=$$$$=\int_{-1}^0 (x^3-x^2-2x)\, dx+\int_0^{2} (-x^3+x^2+2x)\, dx=\frac{5}{12}+\frac{8}{3}=\frac{37}{12}$$

Resumen

  1. Calcular los puntos de intersección entre \(y=f(x)\) y \(y=g(x)\).
  2. Analizar cuál de las dos curvas acota por encima en los intervalos generados entre las abscisas de los puntos de corte.
  3. Representar la región (este paso no es imprescindible para el cálculo).
  4. Plantear la integral que da el área y calcularla.
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