Determina el área de la región finita encerrada entre las curvas \(f(x)=x^2-5x+4\) y \(g(x)=2x^2+x-23\).
Paso 1
Debemos empezar calculando los puntos de intersección entre las curvas \(y=f(x)\) y \(y=g(x)\). Hazlo y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
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$$x^2-5x+4=2x^2+x-23 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x^2+6x-27=0 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=\left\{ \begin{array}{c} 3 \\ -9\end{array}\right.$$Por tanto los puntos son
para \(x=-9\): \(y=130\); punto: \((-9,130)\)
para \(x=3\): \(y=-2\); punto: \((3,-2)\)
Esto quiere decir que la región finita de la que tenemos que calcular el área está incluída en la banda \(-9\leq x\leq 3\).
Paso 2
Tenemos que saber ahora cuál de las curvas va por encima. Para ello haremos (selecciona la que creas más apropiada)
Encontrar las derivadas de las funciones en el primer punto de corte y comparar las pendientes.
Ninguna de las dos opciones presentadas serviría.
Comparar los valores de las funciones en un punto intermedio para saber cuál es mayor.
Ese procedimiento es válido, pero lo podemos reservar cuando sea difícil comparar los valores de las funciones. En este caso es más fácil comparar valores en un punto intermedio.
Pues resulta que cualquiera de las dos anteriores serían válidas, aunque aquí hay una más apropiada.
En efecto, podemos comparar los valores de \(f(0)\) y \(g(0)\). Hazlo tú y pulsa en 'Continuar' cuando lo tengas.
Puesto que$$f(0)=4\ \ , \ \ g(0)=-23 $$la curva \(y=f(x)\) está por encima de \(y=g(x)\).
Paso 3
Esboza un dibujo de la región de la que estamos calculando el área y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
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Paso 4
Con esto ya sabemos escribir el área como una integral (ver Teoría), que además es inmediata. Escribe la integral y halla su valor; pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
