Teoremas Fundamentales
Definición (Valor medio).- Si $f$ es una función continua en $\left[ {a,b} \right]$, entonces el valor medio de $f$ en este intervalo se define como: $$\mu = {1 \over {b - a}}\int\limits_a^b {f(x)dx} $$
El valor medio de una función de variable continua, constituye una generalización de la media aritmética de $n$ números.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO.- Si $f$ es continua en el intervalo $\left[ {a,b} \right]$ entonces existe un número $c$ comprendido entre $a$ y $b$ tal que $$\int\limits_a^b {f(x)} = f(c)(b - a)$$
El valor medio verifica $\mu = f(c)$ , es decir que se trata de un valor que toma la función en algún punto de $\left[ {a,b} \right]$.
Este teorema tiene una interpretación geométrica sencilla: "El área limitada por la curva en el intervalo $\left[ {a,b} \right]$ es igual a la de un rectángulo de base igual a la amplitud del intervalo y de altura igual a la ordenada de la curva en un punto de dicho intervalo".
Laboratorio: Valor medio integral
El siguiente teorema relaciona estrechamente conceptos aparentemente tan dispares como el de primitiva e integral definida de una función continua y, a partir de él se obtiene un procedimiento sencillo para calcular integrales definidas sin usar límites de sumas.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL.- Sea $f(t)$ una función continua en el intervalo $\left[ {a,b} \right]$. Entonces, la función $F(x)$ definida por $$F(x) = \int\limits_a^x {f(t)\,dt\,\,\,\,\,{\rm{con}}\,\,\,x \in \left[ {a,b} \right]} $$ es derivable en dicho intervalo verificándose ${{dF(x)} \over {dx}} = f(x)\,\,\,\,\,\,\,\forall x \in \left[ {a,b} \right]$.
Laboratorio: Teorema Fundamental del Cálculo Integral
El teorema fundamental es una nueva forma de definir funciones no elementales y permite, además, demostrar la Regla de Barrow que servirá como regla práctica para calcular integrales definidas.
REGLA DE BARROW: Si $f$ es una función continua en el intervalo $\left[ {a,b} \right]$ $$\int\limits_a^b {f(x)\,dx} = G(b) - G(a)$$ donde $G(x)$ es cualquier primitiva de $f(x)$.
