Primitivas
Definición (Función primitiva).- Se dice que $F(x)$ es una función primitiva de otra función $f(x)$ si y sólo si se verifica $$F'(x) = f(x)\,\,\,\,\,\forall x \in {D_f}$$ siendo ${D_f}$ el dominio de la función $f(x)$.
Obsérvese que si $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$ también se verificará $dF(x) = f(x)dx$.
PROPOSICIÓN.- Si $F(x)$ es un primitiva de $f(x)$, también serán primitivas de $f(x)$ todas aquellas funciones $G(x)$ que verifiquen $G(x) = F(x) + C$ y sólo esas.
TEOREMA (Existencia de primitiva).- La condición necesaria y suficiente para que $f(x)$ tenga función primitiva en un intervalo $I$, es que sea continua en $I$.
El proceso de cálculo de primitivas se denomina integración y se denota por el símbolo $\int {} $, llamado signo integral.
Definición (Integral indefinida).- Dada una función $f(x)$ continua en un intervalo $I$, se llama integral indefinida de $f(x)$ y se representa por $\int {f(x)dx} $ al conjunto de funciones que tienen por diferencial $f(x)dx$ (tienen por derivada $f(x)$). Es decir, $$\int {f(x)dx} = F(x) + C$$ donde $f(x)$ se llama integrando o función subintegral y C constante de integración. Debiendo verificarse $${d \over {dx}}\left[ {F(x) + C} \right] = f(x)$$
Propiedades de la Integral indefinida.- Sea $f(x)$ una función continua en el intervalo abierto $I$. Entonces se verifican las siguientes propiedades:
(P1) $\int {kf(x)dx = k\int {f(x)dx} } $ siendo $k$ una constante.
(P2) $\int {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]dx} = \int {f(x)dx} \pm \int {g(x)dx} $
Las propiedades P1 y P2 confieren al operador de integración de carácter lineal.
Una forma coloquial de expresar que dos operadores son inversos, consiste en decir que cada uno anula o destruye el efecto producido por el otro. Resulta inmediato comprobar que la integración es la operación inversa de la diferenciación.
TEOREMA.- Los operadores $\int {} $ (integración) y $d$ (diferenciación), son inversos, si bien cuando se aplican en el orden $\int {} $ $d$ debe añadirse una constante arbitraria.
Ejercicios interactivos de primitivas: