Enunciado
Sea \(S\) la superficie frontera del sólido \(H\)
situado en el primer octante limitado por el plano \(2x+y+4z=2\). Calcula el flujo del campo vectorial $${\bf F}=x{\bf i}-{\bf j}+3z^2{\bf k}$$
hacia fuera de \(S\):
- Utilizando el teorema de Gauss (Ver ejercicio anterior)
- Mediante integrales de superficie.
Paso 1
El flujo de un campo vectorial, \({\bf F}\), hacia fuera de una superficie cerrada \(S\) se calcula con la integral $$\int\!\!\int_S {\bf F}\cdot {\bf n}\, dS$$ donde \({\bf n}\) es la normal unitaria hacia fuera de \(S\). (Ver la integral de un campo vectorial sobre una superficie dada en cartesianas) En este caso la superficie \(S\) es la unión de cuatro caras planas. Por tanto habrá que calcular el flujo a través de cada una y sumar los cuatro flujos resultantes; así $$\mbox{Flujo}=F_1+F_2+F_3+F_4$$ donde \(F_i\) denota el flujo a través de la cara \(S_i\).
Paso 2
Calculamos \(F_1\). Aquí se hará tomando la superficie plana \(S_1\) como la gráfica de la función $$y=2-2x-4z$$ sobre el siguiente conjunto del plano XZ:... (encuéntralo tú y pulsa en 'Ver')
Ver
El conjunto proyección en el plano XZ es
$$R_{XZ}=\{(x,z)/\, 0\leq x\leq 1,\, 0\leq z\leq \frac{1}{2}(1-x)\}=\{(x,z)/\, 0\leq z\leq \frac{1}{2},\, 0\leq x\leq 1-2z\}$$
Sabemos que
$$F_1=\int\!\!\int_{R_{XZ}} {\bf F}\cdot {\bf N}\, dA$$
siendo \({\bf N}\) en este caso ... (Halla este vector y pulsa en 'Continuar')
La normal en este caso es
$${\bf N}=(-y'_x,1,-y'_z)=(2,1,4)$$
por lo que
$${\bf F}\cdot {\bf N}=(x,-1,3z^2)\cdot(2,1,4)=2x-1+12z^2$$
de donde
$$F_1=\int_0^{1/2}\int_0^{1-2z} (2x-1+12z^2)\ dx\, dz$$
Realiza la primera integral (integral en \(x\)) y pulsa en 'Ver'
Ver
$$\int_0^{1-2z} (2x-1+12z^2)\ dx=(1-2z)^2+(12z^2-1)(1-2z)=2(-12z^3+8z^2-z)$$
con lo cual,
$$F_1=2\int_0^{1/2} (-12z^3+8z^2-z)\, dz=\frac{1}{24}$$
Paso 3
Calculamos ahora \(F_2\). Éste es el flujo a través de la cara situada en el plano YZ, luego el vector normal que debe tomarse para el cálculo del flujo es ...
$${\bf N}={\bf i}$$
Ninguno de estos dos.
$${\bf N}=-{\bf i}$$
¡No! Pues estamos calculando el flujo hacia fuera.
Hay una opción correcta.
Este es el adecuado. El producto escalar del campo vectorial por este vector es
$${\bf F}\cdot {\bf N}=(x,-1,3z^2)\cdot (-1,0,0)=-x$$
que es cero en el plano YZ. Luego $$F_2=0$$
Paso 4
Para calcular \(F_3\) consideramos la cara en el plano XZ y repetimos el proceso anterior. Hazlo tú y pulsa en 'Ver'.
Ver
El vector normal en este caso es $${\bf N}=-{\bf j}$$ luego
$${\bf F}\cdot {\bf N}=(x,-1,3z^2)\cdot (0,-1,0)=1$$
con lo cual
$$F_3=\int\!\!\int_{R_{XZ}} dA=\mbox{área}(R_{XZ})=\frac{1}{4}$$
Paso 5
Por último hallamos \(F_4\), que es el flujo a través de la cara en el plano XY. Hazlo tú y pulsa en 'Ver'.
Ver
El vector normal en este caso es $${\bf N}=-{\bf k}$$ así que
$${\bf F}\cdot {\bf N}=(x,-1,3z^2)\cdot (0,0,-1)=-3z^2$$
que es una función que se hace cero en el plano XY, con lo cual
$$F_4=0$$
Reuniendo ahora todos los flujos calculados resulta
$$\mbox{Flujo}=F_1+F_2+F_3+F_4=\frac{1}{24}+\frac{1}{4}=\frac{7}{24}$$
que es el resultado obtenido utilizando el teorema de Gauss.
Resumen del segundo apartado
- Analizar cómo es la superficie y descomponerla en unión de superficies simples
- Hallar el flujo a través de la superficie \(2x+y+4z=2\) con la normal que apunta hacia arriba
- Idem para la cara en el plano YZ con la normal que apunta hacia atrás
- Idem para la cara en el plano XZ con la normal que apunta hacia la izquierda
- Idem para la cara en el plano XY con la normal que apunta hacia abajo; sumar todos los flujos.