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Enunciado

Sea \(S\) la superficie frontera del sólido \(H\) situado en el primer octante y que está limitado por el plano \(2x+y+4z=2\). Calcula el flujo del campo vectorial $${\bf F}=x{\bf i}-{\bf j}+3z^2{\bf k}$$ hacia fuera de \(S\):
  1. Utilizando el teorema de Gauss
  2. Mediante integrales de superficie. (Ver ejercicio siguiente)

Paso 1

En primer lugar comprueba que se verifican las hipótesis del teorema de Gauss y pulsa en 'Ver' cuando termines.
Ver
En efecto se cumplen las condiciones para aplicar el teorema de la divergencia de Gauss, pues
  1. la superficie \(S\) es cerrada, suave por partes, por ser la unión de superficies suaves (porciones de planos) y se orientará con la normal hacia fuera
  2. el campo \(\bf{F}\) es de clase \(C^1\) en la superficie y su interior
Por tanto, el flujo de \(\bf{F}\) hacia fuera de \(S\) es ... Escríbelo y pulsa en 'Continuar'.

Paso 2

Puesto que $$\mbox{div} {\bf F}=1+6z$$ la integral que hemos de calcular es $$\int\!\!\int\!\! \int_H (1+6z)\, dV$$ Vamos a integrar en el orden \(dx\, dy\, dz\), es decir con \(H\) descrito de la siguiente manera $$H=\{(x,y,z) / \, z_1\leq z\leq z_2,\ y_1(z)\leq y\leq y_2(z),\ x_1(y,z)\leq x\leq x_2(y,z)\}$$ Encuentra los límites de integración y pulsa en 'Ver'.
Ver
Tenemos $$H=\{(x,y,z) / \, 0\leq z\leq \frac{1}{2},\ 0\leq y\leq 2-4z,\ 0\leq x\leq \frac{1}{2}(2-y-4z)\}$$
Gráfica

Paso 3

El último paso es el cálculo de la integral: $$I=\int_0^{\frac{1}{2}} \int_0^{2-4z} \int_0^\frac{2-y-4z}{2} (1+6z)\, dx\, dy\, dz$$ Realiza la primera integral y pulsa en 'Ver'
'Ver'
Tras calcular la integral en la variable \(x\), resulta $$I=\int_0^{\frac{1}{2}} \int_0^{2-4z} (1+6z) ( 1-2z-\frac{1}{2}y ) \, dy\, dz$$ Realiza ahora la integral en la variable \(y\) y pulsa en 'Continuar'
Ahora tenemos $$I=\int_0^{\frac{1}{2}} ( 1+2z-20z^2+24z^3) \, dz$$ que resulta ... Pulsa en 'Ver' cuando termines.
Ver
$$I=\left.z+z^2-\frac{20}{3}z^3+6z^4\right]_0^{\frac{1}{2}}=\frac{7}{24}$$

Resumen del primer apartado

  1. Aplicar el teorema de Gauss para convertir la integral de flujo en una integral triple
  2. Escribir los límites de integración de las iteradas de la integral triple
  3. Hallar las tres integrales.