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Enunciado

Calcula el valor del área superficial de
  1. la porción \(S\) del paraboloide $$z=x^2+y^2$$ comprendida entre los planos \(z=a^2\) y \(z=b^2\), siendo \(b>a>0\);
  2. la porción \(S\) del cono $$z=(a+b)\sqrt{x^2+y^2}-ab$$ comprendida entre los mismos planos del apartado anterior. (Ver siguiente ejercicio)
Compara las dos áreas obtenidas. (Ver siguiente ejercicio)

Cálculo del área de la porción de paraboloide

Paso 1

Buscamos el elemento diferencial: en este caso la superficie viene dada por una ecuación del tipo \(z=f(x,y)\), luego
$$dS=(1+f'^2_x+f'^2_y)\, dA$$
$$dS=\sqrt{f'^2_x+f'^2_y}\, dA$$
$$dS=\frac{dA}{\sqrt{1+f'^2_x+f'^2_y}}$$
$$dS=\sqrt{1+f'^2_x+f'^2_y}\, dA$$
No es así, míralo bien.
No es así, míralo bien.
No es así, míralo bien.
En efecto, el \(dS\) es el módulo del vector normal \({\bf N}=(f'_x,f'_y,-1)\). Calcúlalo en este caso y pulsa en 'Continuar'
$$f(x,y)=x^2+y^2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ f'_x=2x,\ f'_y=2y \ \ \ \Rightarrow \ \ \ dS=\sqrt{1+4(x^2+y^2)}\, dA$$

Paso 2

Teniendo en cuenta cómo se calcula el área superficial de una superficie dada en cartesianas, ahora debemos encontrar la proyección de la superficie sobre el plano XY: el conjunto \(R\). Para ello cortamos \(x^2+y^2\) con los planos. Inténtalo tú y pulsa en 'Ver'.
Ver
$$\left.\begin{array}{l} z=x^2+y^2 \\ z=a^2 \end{array}\right\}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x^2+y^2=a^2$$ En efecto, hemos de eliminar la \(z\) entre las dos ecuaciones, pues queremos proyectar sobre el plano XY. De la misma forma se proyectaría la intersección con el plano \(z=b^2\), de forma que la región \(R\) es $$R=\{(x,y)/\, a^2\leq x^2+y^2 \leq b^2\}$$ Gráfica

Paso 3

Ahora sólo falta calcular la integral $$\mbox{área}(S)=\int\!\!\int_S dS=\int\!\!\int_R \sqrt{1+4(x^2+y^2)}\, dA$$ Haremos esa integral en
coordenadas cartesianas
coordenadas polares
¡No! Se trata de una integral sobre una corona circular y además el integrando lleva \(x^2+y^2\)
En efecto, las polares son la mejor elección para esta integral. Haz el cambio a polares y pulsa en 'Continuar'.
La región \(R\) en polares es $$R=\{(r,\theta)/\, a\leq r \leq b,\ 0\leq\theta\leq 2\pi \}$$ y la integral $$\mbox{área}(S)=\int_0^{2\pi}\int_a^b r\sqrt{1+4r^2}\, dr\, d\theta=2\pi\int_a^b r\sqrt{1+4r^2}\, dr$$

Paso 4

Resolvemos esta última integral. Hazlo tú y pulsa en 'Ver'.
Ver
$$\int_a^b r\sqrt{1+4r^2}\, dr=\frac{1}{8} \int_a^b 8r(1+4r^2)^{1/2}\, dr=\left.\frac{1}{8}\frac{2}{3}(1+4r^2)^{3/2}\right]_a^b=$$ Con lo cual $$\mbox{área}(S)=\frac{\pi}{6}\left[(1+4b^2)^{3/2}-(1+4a^2)^{3/2}\right]$$

Resumen del primer apartado

  1. determinar el elemento diferencial de superficie
  2. buscar la región proyección, que será la región de integración
  3. plantear la integral y decidir en qué coordenadas se resolverá
  4. calcular la integral en polares