Teniendo en cuenta cómo se calcula
el área superficial de una superficie dada en cartesianas, ahora debemos encontrar la proyección de la superficie sobre el plano XY: el conjunto \(R\). Para ello cortamos \(x^2+y^2\) con los planos. Inténtalo tú y pulsa en 'Ver'.
Ver
$$\left.\begin{array}{l} z=x^2+y^2 \\ z=a^2 \end{array}\right\}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x^2+y^2=a^2$$
En efecto, hemos de eliminar la \(z\) entre las dos ecuaciones, pues queremos proyectar sobre el plano XY. De la misma forma se proyectaría la intersección con el plano \(z=b^2\), de forma que la región \(R\) es
$$R=\{(x,y)/\, a^2\leq x^2+y^2 \leq b^2\}$$
Paso 3
Ahora sólo falta calcular la integral
$$\mbox{área}(S)=\int\!\!\int_S dS=\int\!\!\int_R \sqrt{1+4(x^2+y^2)}\, dA$$
Haremos esa integral en
coordenadas cartesianas
coordenadas polares
¡No! Se trata de una integral sobre una corona circular y además el integrando lleva \(x^2+y^2\)
En efecto, las polares son la mejor elección para esta integral. Haz el cambio a polares y pulsa en 'Continuar'.
La región \(R\) en polares es
$$R=\{(r,\theta)/\, a\leq r \leq b,\ 0\leq\theta\leq 2\pi \}$$
y la integral
$$\mbox{área}(S)=\int_0^{2\pi}\int_a^b r\sqrt{1+4r^2}\, dr\, d\theta=2\pi\int_a^b r\sqrt{1+4r^2}\, dr$$
Paso 4
Resolvemos esta última integral. Hazlo tú y pulsa en 'Ver'.
Ver
$$\int_a^b r\sqrt{1+4r^2}\, dr=\frac{1}{8} \int_a^b 8r(1+4r^2)^{1/2}\, dr=\left.\frac{1}{8}\frac{2}{3}(1+4r^2)^{3/2}\right]_a^b=$$
Con lo cual
$$\mbox{área}(S)=\frac{\pi}{6}\left[(1+4b^2)^{3/2}-(1+4a^2)^{3/2}\right]$$
Resumen del primer apartado
determinar el elemento diferencial de superficie
buscar la región proyección, que será la región de integración
plantear la integral y decidir en qué coordenadas se resolverá