Cálculo de áreas superficiales en cartesianas

Si \(z = f(x,y)\) y sus derivadas parciales son continuas en una región \(R\) del plano XY, entonces el área de la superficie \(S\) definida por \(z = f(x,y)\) y que se proyecta sobre \(R\) viene dada por: $$\mbox{Área}(S)=\int\!\!\int_S \, dS=\int\!\!\int_R \sqrt{f'_x^2+f'_y^2+1}\, dA$$ Las variables \((x,y)\) son intercambiables por \((x,z)\) ó \((y,z)\) según sea lo más apropiado en cada caso. La proyección se realizará entonces sobre los planos XZ ó YZ, respectivamente.