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Enunciado

Sea \(S\) la superficie frontera del sólido \(H\) situado en el semiespacio superior, interior a $$x^2+y^2=1$$ y limitado por $$z=xy \ \ \ \ \mbox{y}\ \ \ \ (x-1)^2+(y-1)^2=1$$ Sea \(f\) un campo escalar cuyas derivadas parciales son de clase \(C^2\) (por tanto diferenciable) del que sabemos que $$|\nabla f|^2=4 f\ \ \ ,\ \ \ \mbox{div}(f\nabla f)=10 f$$ Con estos datos calcula la siguiente integral de superficie $$F=\int\!\!\int_S \, \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}\, dS$$ Recuerda que \(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}\) denota la derivada direccional de \(f\) respecto de la dirección \({\bf n}\).

Paso 1

En primer lugar analizamos el integrando de \(F\): puesto que \(f\) es diferenciable y \({\bf n}\) es una dirección, ¿cómo puede escribirse la derivada direccional \(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}\)? Intenta recordarlo y pulsa en 'Ver'.
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En efecto, por ser \(f\) diferenciable, $$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}=\nabla f \cdot \mathbf{n}$$ de manera que la integral buscada es la siguiente integral de flujo $$F=\int\!\!\int_S \, \nabla f \cdot \mathbf{n}\, dS$$ Comprueba que se verifican las hipótesis del teorema de Gauss y pulsa en 'Continuar'.

Paso 2

En efecto se cumplen las condiciones para aplicar el teorema de la divergencia de Gauss, pues
  1. la superficie \(S\) es cerrada, suave por partes, por ser la unión de superficies suaves
  2. el campo \(\nabla f\) es de clase \(C^1\)
Por tanto, la integral \(F\) se convierte en ... Escríbelo y pulsa en 'Ver'.
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\(F\) es la integral triple $$F=\int\!\!\int\!\!\int_H \, \mbox{div}(\nabla f)\, dV$$

Paso 3

Ahora debemos hallar el integrando de ésta última integral. Empezamos escribiendo el gradiente de \(f\), que es
$$f'(\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k})$$
$$f'_x+f'_y+f'_z$$
$$f'_x\mathbf{i}+f'_y\mathbf{j}+f'_z\mathbf{k}$$
¡No existe \(f'\)!
¡Eso no es un vector!
En efecto, eso es el gradiente de \(f\).
Ahora nos debemos ocupar de la divergencia del gradiente,
$$f''_{xx}\mathbf{i}+f''_{yy}\mathbf{j}+f''_{zz}\mathbf{k}$$
Ninguna de las dos propuestas es correcta.
$$f''_{xx}+f''_{yy}+f''_{zz}$$
Eso es un vector, y la divergencia es un campo escalar
Hay una propuesta correcta.
En efecto, esa es la divergencia del gradiente de \(f\).
Escribimos ahora las condiciones del enunciado para \(f\). La primera es $$|\nabla f|^2=4f \ \ \ \Rightarrow \ \ \ f'_x^2+f'_y^2+f'_z^2=4f$$ y para la segunda utilizamos que
$$\mbox{div}(f\nabla f)=\mbox{div}(f) \mbox{div}(\nabla f)$$
$$\mbox{div}(f\nabla f)=\mbox{div}(f)\cdot \nabla f+ f \mbox{div}(\nabla f)$$
$$\mbox{div}(f\nabla f)=$$ $$=(f f'_x)_x+(f f'_y)_y+(f f'_z)_z=f'_x^2+f'_y^2+f'_z^2+f(f''_{xx}+f''_{yy}+f''_{zz})$$
¡No!, míralo bien
Eso no tiene ningún sentido
En efecto, esto es lo correcto, de lo cual se deduce que $$\mbox{div}(f\nabla f)=4f+f\mbox{div}(\nabla f))=10f$$ de donde $$f \mbox{div}(\nabla f)=6f$$ o bien $$\mbox{div}(\nabla f)=6$$

Paso 4

El último paso es por tanto calcular la integral triple $$F=\int\!\!\int\!\!\int_H \, \mbox{div}(\nabla f)\, dV=6\int\!\!\int\!\!\int_H \, dV=6 \mbox{Volumen}(H)$$ siendo $$H=\left\{(x,y,z) / (x,y)\in R_{xy}, 0\leq z\leq xy \right\}$$ con
$$R_{xy}=\left\{(x,y) / \, 0\leq x\leq 1,\, 1+\sqrt{1-(x-1)^2}\leq y\leq \sqrt{1-x^2} \right\}$$
$$R_{xy}=\left\{(x,y) / \, 0\leq x\leq 1,\, 1-\sqrt{1-(x-1)^2}\leq y\leq \sqrt{1-x^2} \right\}$$
¡No! La circunferencia \((x-1)^2+(y-1)^2=2\) tiene un arco a inferior a \(y=1\) y otro superior. Mira bien cuál se ha de elegir aquí.
En efecto, ésa es la expresión de la región \(R_{xy}\): Gráfica

Por tanto el volumen de \(H\) es $$\mbox{Volumen}(H)=\int_0^1\int_{1-\sqrt{1-(x-1)^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\ xy\, dy\, dx= \int_0^1\, x\left(-x+\sqrt{1-(x-1)^2}\right)\, dx$$ La integral de \(x^2\) es inmediata. Para la otra, encontramos en primer lugar la primitiva correspondiente, haciendo el cambio de variable $$x-1=\mbox{sen}\, t$$ Termínalo tú y pulsa en 'Ver' cuando lo tengas.
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$$\int \left(x\sqrt{1-(x-1)^2}\right)\, dx=\int (\mbox{sen}\, t+1)\,\cos^2 t\, dt $$ Esta primitiva es ya elemental. Deshaciendo el cambio, $$\int \left(x\sqrt{1-(x-1)^2}\right)\, dx=\frac{-1}{3}(\sqrt{1-(x-1)^2})^3+\frac{1}{2}\mbox{arcsen} (x-1)+\frac{1}{2}(x-1)\sqrt{1-(x-1)^2} $$ Evaluando en los extremos y añadiendo la otra parte del volumen, $$\mbox{Volumen}(H)= -\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{\pi}{4}=-\frac{2}{3}+\frac{\pi}{4}$$ y finalmente $$F=6 \mbox{Volumen}(H)= \frac{1}{2}(3\pi -8)$$

Resumen

  1. Aplicar que \(f\) es diferenciable para escribir la integral como una integral de flujo
  2. Aplicar el teorema de Gauss para convertirla en una integral triple
  3. Encontrar el integrando haciendo uso de las condiciones del enunciado para \(f\)
  4. Resolver la integral triple que proporciona el volumen del sólido \(H\).